Номер 807, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 807, страница 138.

Условие.

807. Разложите на множители:

1) $x^3 - 1;$

2) $27 + a^3;$

3) $216 - y^3;$

4) $\frac{1}{8}a^3 + b^3;$

5) $0,001m^3 + 8m^3;$

6) $a^3b^3 - c^3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данных задач мы будем использовать формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:
Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

1) Дано выражение $x^3 - 1$.
Это разность кубов, где $a = x$ и $b = 1$, так как $1^3 = 1$.
Применяем формулу разности кубов:
$x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.
Ответ: $(x - 1)(x^2 + x + 1)$.

2) Дано выражение $27 + a^3$.
Это сумма кубов. Представим $27$ как куб числа: $27 = 3^3$.
Выражение принимает вид $3^3 + a^3$. Здесь $a$ в формуле — это $3$, а $b$ в формуле — это $a$.
Применяем формулу суммы кубов:
$3^3 + a^3 = (3 + a)(3^2 - 3 \cdot a + a^2) = (3 + a)(9 - 3a + a^2)$.
Ответ: $(3 + a)(9 - 3a + a^2)$.

3) Дано выражение $216 - y^3$.
Это разность кубов. Представим $216$ как куб числа: $216 = 6^3$.
Выражение принимает вид $6^3 - y^3$. Здесь $a = 6$, $b = y$.
Применяем формулу разности кубов:
$6^3 - y^3 = (6 - y)(6^2 + 6 \cdot y + y^2) = (6 - y)(36 + 6y + y^2)$.
Ответ: $(6 - y)(36 + 6y + y^2)$.

4) Дано выражение $\frac{1}{8}a^3 + b^3$.
Это сумма кубов. Представим первый член как куб выражения: $\frac{1}{8}a^3 = (\frac{1}{2})^3 a^3 = (\frac{1}{2}a)^3$.
Выражение принимает вид $(\frac{1}{2}a)^3 + b^3$. Здесь $a$ в формуле — это $\frac{1}{2}a$, а $b$ в формуле — это $b$.
Применяем формулу суммы кубов:
$(\frac{1}{2}a)^3 + b^3 = (\frac{1}{2}a + b)((\frac{1}{2}a)^2 - \frac{1}{2}a \cdot b + b^2) = (\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.

5) Дано выражение $0,001m^3 + 8m^3$.
Хотя можно сложить подобные слагаемые, в контексте темы "формулы сокращенного умножения" предполагается иной подход. Представим каждый член в виде куба.
$0,001m^3 = (0,1m)^3$
$8m^3 = (2m)^3$
Теперь это сумма кубов: $(0,1m)^3 + (2m)^3$. Здесь $a = 0,1m$, $b = 2m$.
Применяем формулу суммы кубов:
$(0,1m + 2m)((0,1m)^2 - (0,1m)(2m) + (2m)^2)$
Упростим выражение в каждой скобке:
Первая скобка: $0,1m + 2m = 2,1m$.
Вторая скобка: $(0,1m)^2 - (0,1m)(2m) + (2m)^2 = 0,01m^2 - 0,2m^2 + 4m^2$.
Сложим подобные слагаемые во второй скобке: $0,01m^2 - 0,2m^2 + 4m^2 = (0,01 - 0,2 + 4)m^2 = 3,81m^2$.
Итоговое разложение: $(2,1m)(3,81m^2)$.
Ответ: $(2,1m)(0,01m^2 - 0,2m^2 + 4m^2)$ или, после упрощения, $(2,1m)(3,81m^2)$.

6) Дано выражение $a^3b^3 - c^3$.
Это разность кубов. Представим первый член как куб выражения: $a^3b^3 = (ab)^3$.
Выражение принимает вид $(ab)^3 - c^3$. Здесь $a$ в формуле — это $ab$, а $b$ в формуле — это $c$.
Применяем формулу разности кубов:
$(ab)^3 - c^3 = (ab - c)((ab)^2 + (ab) \cdot c + c^2) = (ab - c)(a^2b^2 + abc + c^2)$.
Ответ: $(ab - c)(a^2b^2 + abc + c^2)$.