Номер 814, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 814, страница 139.

Условие.

814. Выполните умножение:

1) $(b - 4)(b^2 + 4b + 16)$

2) $(2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2)$

3) $(x^3 + 6y^2)(x^6 - 6x^3y^2 + 36y^4)$

4) $(\frac{1}{4} a - \frac{1}{5} b)(\frac{1}{16} a^2 + \frac{1}{20} ab + \frac{1}{25} b^2)$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(b-4)(b^2+4b+16)$

Данное выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность кубов": $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$. В данном случае $x=b$ и $y=4$.

Проверим, соответствует ли второй множитель $(b^2+4b+16)$ шаблону $(x^2+xy+y^2)$.
Квадрат первого члена: $x^2 = b^2$.
Произведение первого и второго членов: $xy = b \cdot 4 = 4b$.
Квадрат второго члена: $y^2 = 4^2 = 16$.
Все части совпадают.

Применяем формулу разности кубов:

$(b-4)(b^2+4b+16) = b^3 - 4^3 = b^3 - 64$.

Ответ: $b^3-64$.

2) $(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2)$

Это выражение является формулой "сумма кубов": $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$. Здесь $x=2a$ и $y=3b$.

Проверим второй множитель $(4a^2-6ab+9b^2)$ на соответствие шаблону $(x^2-xy+y^2)$.
Квадрат первого члена: $x^2 = (2a)^2 = 4a^2$.
Произведение первого и второго членов: $xy = (2a)(3b) = 6ab$.
Квадрат второго члена: $y^2 = (3b)^2 = 9b^2$.
Все части совпадают.

Применяем формулу суммы кубов:

$(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2) = (2a)^3 + (3b)^3 = 8a^3 + 27b^3$.

Ответ: $8a^3+27b^3$.

3) $(x^3+6y^2)(x^6-6x^3y^2+36y^4)$

Это также формула "сумма кубов": $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3+B^3$. В этом примере $A=x^3$ и $B=6y^2$.

Проверим второй множитель $(x^6-6x^3y^2+36y^4)$ на соответствие шаблону $(A^2-AB+B^2)$.
Квадрат первого члена: $A^2 = (x^3)^2 = x^6$.
Произведение первого и второго членов: $AB = (x^3)(6y^2) = 6x^3y^2$.
Квадрат второго члена: $B^2 = (6y^2)^2 = 36y^4$.
Все части совпадают.

Применяем формулу:

$(x^3+6y^2)(x^6-6x^3y^2+36y^4) = (x^3)^3 + (6y^2)^3 = x^9 + 216y^6$.

Ответ: $x^9+216y^6$.

4) $(\frac{1}{4}a - \frac{1}{5}b)(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{20}ab + \frac{1}{25}b^2)$

Это выражение соответствует формуле "разность кубов": $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$. Здесь $x=\frac{1}{4}a$ и $y=\frac{1}{5}b$.

Проверим второй множитель $(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{20}ab + \frac{1}{25}b^2)$ на соответствие шаблону $(x^2+xy+y^2)$.
Квадрат первого члена: $x^2 = (\frac{1}{4}a)^2 = \frac{1}{16}a^2$.
Произведение первого и второго членов: $xy = (\frac{1}{4}a)(\frac{1}{5}b) = \frac{1}{20}ab$.
Квадрат второго члена: $y^2 = (\frac{1}{5}b)^2 = \frac{1}{25}b^2$.
Все части совпадают.

Применяем формулу разности кубов:

$(\frac{1}{4}a - \frac{1}{5}b)(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{20}ab + \frac{1}{25}b^2) = (\frac{1}{4}a)^3 - (\frac{1}{5}b)^3 = \frac{1}{64}a^3 - \frac{1}{125}b^3$.

Ответ: $\frac{1}{64}a^3-\frac{1}{125}b^3$.