Номер 820, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 820, страница 139.

Условие.

820. Упростите выражение:

1) $(a-5)(a^2 + 5a + 25) - (a-1)(a^2 + a + 1);$

2) $(y-3)(y^2 + 3y + 9) - y(y-3)(y+3) - (y+3)^2;$

3) $(a-b)(a+b)(a^4 + a^2b^2 + b^4).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Первое произведение в выражении, $(a - 5)(a^2 + 5a + 25)$, является разностью кубов, где $x=a$ и $y=5$.
$(a - 5)(a^2 + 5a + 25) = a^3 - 5^3 = a^3 - 125$.

Второе произведение, $(a - 1)(a^2 + a + 1)$, также является разностью кубов, где $x=a$ и $y=1$.
$(a - 1)(a^2 + a + 1) = a^3 - 1^3 = a^3 - 1$.

Теперь выполним вычитание полученных выражений:
$(a^3 - 125) - (a^3 - 1) = a^3 - 125 - a^3 + 1 = -124$.

Ответ: $-124$.

2) Упростим выражение по частям, применяя формулы сокращенного умножения.

Первый член $(y - 3)(y^2 + 3y + 9)$ — это формула разности кубов $y^3 - 3^3 = y^3 - 27$.

Второй член $-y(y - 3)(y + 3)$. Здесь $(y - 3)(y + 3)$ является разностью квадратов $y^2 - 3^2 = y^2 - 9$. Тогда:
$-y(y^2 - 9) = -y^3 + 9y$.

Третий член $-(y + 3)^2$ — это квадрат суммы, взятый с противоположным знаком. Формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
$-(y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) = -(y^2 + 6y + 9) = -y^2 - 6y - 9$.

Теперь сложим все упрощенные части:
$(y^3 - 27) + (-y^3 + 9y) + (-y^2 - 6y - 9) = y^3 - 27 - y^3 + 9y - y^2 - 6y - 9$.

Приведем подобные слагаемые:
$(y^3 - y^3) - y^2 + (9y - 6y) + (-27 - 9) = -y^2 + 3y - 36$.

Ответ: $-y^2 + 3y - 36$.

3) Упростим это выражение, последовательно используя формулы сокращенного умножения.

Сначала преобразуем произведение первых двух скобок $(a - b)(a + b)$ по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Теперь исходное выражение принимает вид:
$(a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$.

Полученное выражение является формулой разности кубов $X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + XY + Y^2)$, если сделать замену $X = a^2$ и $Y = b^2$.
Тогда $(a^2 - b^2)((a^2)^2 + (a^2)(b^2) + (b^2)^2) = (a^2)^3 - (b^2)^3$.

Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем конечный результат:
$(a^2)^3 - (b^2)^3 = a^6 - b^6$.

Ответ: $a^6 - b^6$.