Номер 819, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 819, страница 139.

Условие.

819. Упростите выражение:

1) $(x+1)(x^2-x+1)+(2-x)(4+2x+x^2)$

2) $(x-4)(x^2+4x+16)-x(x-5)(x+5)$

3) $a(a-3)^2-(a+3)(a^2-3a+9)$

4) $(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)(a^6+1)(a^{12}+1)$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для упрощения выражения $(x+1)(x^2 - x + 1) + (2-x)(4 + 2x + x^2)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: суммой кубов $ (a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 $ и разностью кубов $ (a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 $.

Первое слагаемое $ (x+1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) $ является формулой суммы кубов, где $a=x$ и $b=1$. Таким образом, $ (x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1 $.

Второе слагаемое $ (2-x)(4 + 2x + x^2) $ можно представить как $ (2-x)(2^2 + 2x + x^2) $. Это формула разности кубов, где $a=2$ и $b=x$. Таким образом, $ (2-x)(4 + 2x + x^2) = 2^3 - x^3 = 8 - x^3 $.

Теперь сложим полученные выражения: $ (x^3 + 1) + (8 - x^3) = x^3 + 1 + 8 - x^3 = 9 $.

Ответ: $9$

2) Для упрощения выражения $(x-4)(x^2 + 4x + 16) - x(x-5)(x+5)$ применим формулы разности кубов и разности квадратов.

Первая часть выражения $ (x-4)(x^2 + 4x + 16) $ является формулой разности кубов $ (a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 $, где $a=x$ и $b=4$. Получаем $ x^3 - 4^3 = x^3 - 64 $.

Вторая часть выражения $ -x(x-5)(x+5) $ содержит произведение $ (x-5)(x+5) $, которое является формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $. Получаем $ x^2 - 5^2 = x^2 - 25 $.

Теперь умножим результат на $-x$: $ -x(x^2 - 25) = -x^3 + 25x $.

Сложим обе упрощенные части: $ (x^3 - 64) + (-x^3 + 25x) = x^3 - 64 - x^3 + 25x = 25x - 64 $.

Ответ: $25x - 64$

3) Для упрощения выражения $a(a-3)^2 - (a+3)(a^2 - 3a + 9)$ раскроем скобки и применим формулы сокращенного умножения.

Раскроем первую часть выражения: $ a(a-3)^2 $. Сначала возведем в квадрат по формуле квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $: $ (a-3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9 $. Затем умножим на $a$: $ a(a^2 - 6a + 9) = a^3 - 6a^2 + 9a $.

Вторая часть выражения $ -(a+3)(a^2 - 3a + 9) $ содержит формулу суммы кубов $ (x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 $, где $x=a$ и $y=3$. Таким образом, $ (a+3)(a^2 - 3a + 9) = a^3 + 3^3 = a^3 + 27 $.

Теперь вычтем вторую часть из первой: $ (a^3 - 6a^2 + 9a) - (a^3 + 27) = a^3 - 6a^2 + 9a - a^3 - 27 = -6a^2 + 9a - 27 $.

Ответ: $-6a^2 + 9a - 27$

4) Для упрощения выражения $(a-1)(a+1)(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1)$ сгруппируем множители и последовательно применим формулы сокращенного умножения.

Сгруппируем множители следующим образом: $ \left[ (a-1)(a^2 + a + 1) \right] \cdot \left[ (a+1)(a^2 - a + 1) \right] \cdot (a^6 + 1)(a^{12} + 1) $.

Первая группа $ (a-1)(a^2 + a + 1) $ является формулой разности кубов: $ a^3 - 1^3 = a^3 - 1 $.

Вторая группа $ (a+1)(a^2 - a + 1) $ является формулой суммы кубов: $ a^3 + 1^3 = a^3 + 1 $.

Выражение принимает вид: $ (a^3 - 1)(a^3 + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) $.

Теперь применим формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $ к первым двум множителям $ (a^3 - 1)(a^3 + 1) $: $ (a^3)^2 - 1^2 = a^6 - 1 $.

Выражение упрощается до: $ (a^6 - 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1) $.

Снова применяем формулу разности квадратов к $ (a^6 - 1)(a^6 + 1) $: $ (a^6)^2 - 1^2 = a^{12} - 1 $.

Выражение становится: $ (a^{12} - 1)(a^{12} + 1) $.

В последний раз применяем формулу разности квадратов: $ (a^{12})^2 - 1^2 = a^{24} - 1 $.

Ответ: $a^{24} - 1$