Номер 818, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 818, страница 139.

Условие.

818. Представьте в виде произведения выражение:

1) $(b-5)^3 + 125;$

2) $(4-3x)^3 - 8x^3;$

3) $(a-b)^3 + (a+b)^3;$

4) $(c+3)^3 - (c-3)^3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данных задач используются формулы суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

1) $(b-5)^3+125$

Представим выражение в виде суммы кубов. Заметим, что $125 = 5^3$. Тогда выражение принимает вид $(b-5)^3+5^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = b-5$ и $b = 5$.

$(b-5)^3+5^3 = ((b-5)+5)((b-5)^2 - (b-5) \cdot 5 + 5^2)$

Упростим первую скобку:

$b-5+5 = b$

Упростим вторую скобку:

$(b^2 - 10b + 25) - (5b - 25) + 25 = b^2 - 10b + 25 - 5b + 25 + 25 = b^2 - 15b + 75$

Получаем произведение:

$b(b^2 - 15b + 75)$

Ответ: $b(b^2 - 15b + 75)$.

2) $(4-3x)^3-8x^3$

Представим выражение в виде разности кубов. Заметим, что $8x^3 = (2x)^3$. Тогда выражение принимает вид $(4-3x)^3-(2x)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 4-3x$ и $b = 2x$.

$(4-3x)^3-(2x)^3 = ((4-3x)-2x)((4-3x)^2 + (4-3x) \cdot 2x + (2x)^2)$

Упростим первую скобку:

$4-3x-2x = 4-5x$

Упростим вторую скобку:

$(16 - 24x + 9x^2) + (8x - 6x^2) + 4x^2 = 16 - 24x + 9x^2 + 8x - 6x^2 + 4x^2 = 7x^2 - 16x + 16$

Получаем произведение:

$(4-5x)(7x^2 - 16x + 16)$

Ответ: $(4-5x)(7x^2 - 16x + 16)$.

3) $(a-b)^3+(a+b)^3$

Это выражение является суммой кубов, где в качестве первого слагаемого выступает $(a-b)$, а в качестве второго — $(a+b)$.

Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = a-b$ и $B = a+b$.

$((a-b)+(a+b))((a-b)^2 - (a-b)(a+b) + (a+b)^2)$

Упростим первую скобку:

$a-b+a+b = 2a$

Упростим вторую скобку, используя формулы квадрата разности, разности квадратов и квадрата суммы:

$(a^2-2ab+b^2) - (a^2-b^2) + (a^2+2ab+b^2) = a^2-2ab+b^2-a^2+b^2+a^2+2ab+b^2 = a^2+3b^2$

Получаем произведение:

$2a(a^2+3b^2)$

Ответ: $2a(a^2+3b^2)$.

4) $(c+3)^3-(c-3)^3$

Это выражение является разностью кубов, где $A = c+3$ и $B = c-3$.

Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.

$((c+3)-(c-3))((c+3)^2 + (c+3)(c-3) + (c-3)^2)$

Упростим первую скобку:

$c+3-c+3 = 6$

Упростим вторую скобку, используя формулы сокращенного умножения:

$(c^2+6c+9) + (c^2-9) + (c^2-6c+9) = c^2+6c+9+c^2-9+c^2-6c+9 = 3c^2+9$

Получаем произведение:

$6(3c^2+9)$

Вынесем общий множитель 3 из второй скобки:

$6 \cdot 3(c^2+3) = 18(c^2+3)$

Ответ: $18(c^2+3)$.