Номер 817, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 817, страница 139.

Условие.

817. Разложите на множители:

1) $(a+6)^3 - 27;$

2) $(2x-1)^3 + 64;$

3) $8a^6 - (4a-3)^3;$

4) $1000 + (y-10)^3;$

5) $(x+y)^3 - (x-y)^3;$

6) $(a-2)^3 + (a+2)^3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для разложения выражения $(a + 6)^3 - 27$ на множители воспользуемся формулой разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
В данном случае $A = a + 6$ и $B = 3$, так как $27 = 3^3$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a + 6)^3 - 3^3 = ((a + 6) - 3)((a + 6)^2 + (a + 6) \cdot 3 + 3^2)$.
Упростим каждый множитель:
Первый множитель: $a + 6 - 3 = a + 3$.
Второй множитель: $(a + 6)^2 + 3(a + 6) + 9 = (a^2 + 12a + 36) + (3a + 18) + 9 = a^2 + 12a + 3a + 36 + 18 + 9 = a^2 + 15a + 63$.
Таким образом, получаем: $(a + 3)(a^2 + 15a + 63)$.
Ответ: $(a + 3)(a^2 + 15a + 63)$.

2) Для разложения выражения $(2x - 1)^3 + 64$ на множители применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Здесь $A = 2x - 1$ и $B = 4$, так как $64 = 4^3$.
Подставляем в формулу:
$((2x - 1) + 4)((2x - 1)^2 - (2x - 1) \cdot 4 + 4^2)$.
Упрощаем каждый множитель:
Первый множитель: $2x - 1 + 4 = 2x + 3$.
Второй множитель: $(4x^2 - 4x + 1) - (8x - 4) + 16 = 4x^2 - 4x + 1 - 8x + 4 + 16 = 4x^2 - 12x + 21$.
Итоговый результат: $(2x + 3)(4x^2 - 12x + 21)$.
Ответ: $(2x + 3)(4x^2 - 12x + 21)$.

3) Выражение $8a^6 - (4a - 3)^3$ представляет собой разность кубов. Сначала представим $8a^6$ в виде куба: $8a^6 = (2a^2)^3$.
Используем формулу $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = 2a^2$ и $B = 4a - 3$.
Подставляем:
$(2a^2 - (4a - 3))((2a^2)^2 + 2a^2(4a - 3) + (4a - 3)^2)$.
Упрощаем каждый множитель:
Первый множитель: $2a^2 - 4a + 3$.
Второй множитель: $4a^4 + (8a^3 - 6a^2) + (16a^2 - 24a + 9) = 4a^4 + 8a^3 - 6a^2 + 16a^2 - 24a + 9 = 4a^4 + 8a^3 + 10a^2 - 24a + 9$.
В результате получаем: $(2a^2 - 4a + 3)(4a^4 + 8a^3 + 10a^2 - 24a + 9)$.
Ответ: $(2a^2 - 4a + 3)(4a^4 + 8a^3 + 10a^2 - 24a + 9)$.

4) Выражение $1000 + (y - 10)^3$ является суммой кубов. Представим $1000$ как $10^3$.
Применим формулу $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = 10$ и $B = y - 10$.
Подставляем:
$(10 + (y - 10))(10^2 - 10(y - 10) + (y - 10)^2)$.
Упрощаем каждый множитель:
Первый множитель: $10 + y - 10 = y$.
Второй множитель: $100 - (10y - 100) + (y^2 - 20y + 100) = 100 - 10y + 100 + y^2 - 20y + 100 = y^2 - 30y + 300$.
Получаем: $y(y^2 - 30y + 300)$.
Ответ: $y(y^2 - 30y + 300)$.

5) Выражение $(x + y)^3 - (x - y)^3$ является разностью кубов.
Используем формулу $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = x + y$ и $B = x - y$.
Подставляем:
$((x + y) - (x - y))((x + y)^2 + (x + y)(x - y) + (x - y)^2)$.
Упрощаем каждый множитель:
Первый множитель: $x + y - x + y = 2y$.
Второй множитель: $(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - y^2) + (x^2 - 2xy + y^2)$. Сгруппируем подобные члены: $(x^2 + x^2 + x^2) + (2xy - 2xy) + (y^2 - y^2 + y^2) = 3x^2 + y^2$.
Итоговое выражение: $2y(3x^2 + y^2)$.
Ответ: $2y(3x^2 + y^2)$.

6) Выражение $(a - 2)^3 + (a + 2)^3$ представляет собой сумму кубов.
Используем формулу $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = a - 2$ и $B = a + 2$.
Подставляем:
$((a - 2) + (a + 2))((a - 2)^2 - (a - 2)(a + 2) + (a + 2)^2)$.
Упрощаем каждый множитель:
Первый множитель: $a - 2 + a + 2 = 2a$.
Второй множитель: $(a^2 - 4a + 4) - (a^2 - 4) + (a^2 + 4a + 4)$. Раскроем скобки: $a^2 - 4a + 4 - a^2 + 4 + a^2 + 4a + 4$. Сгруппируем подобные члены: $(a^2 - a^2 + a^2) + (-4a + 4a) + (4 + 4 + 4) = a^2 + 12$.
Итоговое выражение: $2a(a^2 + 12)$.
Ответ: $2a(a^2 + 12)$.