Номер 824, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 824, страница 140.

Условие.

824. Докажите, что значение выражения:

1) $456^3 - 156^3$ делится нацело на 300;

2) $254^3 + 238^3$ делится нацело на 123;

3) $17^6 - 1$ делится нацело на 36.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать, что выражение $456^3 - 156^3$ делится нацело на 300, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Применим эту формулу к нашему выражению, где $a=456$ и $b=156$:
$456^3 - 156^3 = (456 - 156)(456^2 + 456 \cdot 156 + 156^2)$.
Вычислим значение первого множителя:
$456 - 156 = 300$.
Таким образом, выражение можно переписать в виде:
$300 \cdot (456^2 + 456 \cdot 156 + 156^2)$.
Поскольку один из множителей равен 300, а второй множитель является целым числом (так как это сумма и произведение целых чисел), то все произведение делится нацело на 300.
Ответ: что и требовалось доказать.

2) Для доказательства того, что выражение $254^3 + 238^3$ делится нацело на 123, используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Подставим в формулу $a=254$ и $b=238$:
$254^3 + 238^3 = (254 + 238)(254^2 - 254 \cdot 238 + 238^2)$.
Найдем значение первого множителя:
$254 + 238 = 492$.
Проверим, делится ли 492 на 123:
$492 \div 123 = 4$.
Значит, $492 = 123 \cdot 4$.
Теперь мы можем переписать исходное выражение:
$(123 \cdot 4) \cdot (254^2 - 254 \cdot 238 + 238^2) = 123 \cdot [4 \cdot (254^2 - 254 \cdot 238 + 238^2)]$.
В полученном произведении один из множителей равен 123, а второй множитель является целым числом. Следовательно, все выражение делится нацело на 123.
Ответ: что и требовалось доказать.

3) Чтобы доказать, что выражение $17^6 - 1$ делится нацело на 36, представим его в виде разности кубов.
$17^6 - 1 = (17^2)^3 - 1^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=17^2$ и $b=1$:
$(17^2)^3 - 1^3 = (17^2 - 1)((17^2)^2 + 17^2 \cdot 1 + 1^2) = (17^2-1)(17^4+17^2+1)$.
Рассмотрим первый множитель $17^2 - 1$. Его можно разложить по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$17^2 - 1 = (17-1)(17+1) = 16 \cdot 18$.
Нам нужно доказать делимость на 36. Представим $36$ как $4 \cdot 9$.
В произведении $16 \cdot 18$ множитель 16 делится на 4 ($16=4 \cdot 4$), а множитель 18 делится на 9 ($18=2 \cdot 9$).
Следовательно, произведение $16 \cdot 18$ делится на $4 \cdot 9 = 36$. Действительно, $16 \cdot 18 = 288 = 36 \cdot 8$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как:
$(16 \cdot 18) \cdot (17^4+17^2+1) = 36 \cdot 8 \cdot (17^4+17^2+1)$.
Так как один из множителей равен 36, а остальные множители - целые числа, то все выражение делится нацело на 36.
Ответ: что и требовалось доказать.