Номер 828, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 828, страница 140.

Условие.

828. Можно ли утверждать, что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число, то на это число делится нацело:

1) разность их квадратов;

2) сумма их квадратов;

3) сумма их кубов?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа, и пусть их сумма делится нацело на натуральное число $n$. Это означает, что $(a+b) \vdots n$, или, другими словами, существует такое натуральное число $k$, что $a+b = kn$. Рассмотрим каждое утверждение по отдельности.

1) разность их квадратов

Рассмотрим выражение для разности квадратов: $a^2 - b^2$. Используем формулу сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.По условию задачи, множитель $(a+b)$ делится на $n$. Это значит, что $a+b = kn$ для некоторого целого числа $k$.Подставим это в наше выражение: $a^2 - b^2 = (a-b)(kn) = n \cdot (k(a-b))$.Так как $a$, $b$ и $k$ — целые числа, то и выражение $k(a-b)$ является целым числом.Следовательно, $a^2 - b^2$ является произведением числа $n$ и целого числа, а значит, $a^2 - b^2$ делится нацело на $n$.

Ответ: да, можно утверждать.

2) сумма их квадратов

Чтобы проверить это утверждение, попробуем найти контрпример. Пусть $a=1$, $b=3$. Их сумма $a+b = 1+3=4$. Выберем в качестве делителя $n=4$. Условие, что сумма чисел $(a+b)$ делится на $n$, выполняется, так как $4$ делится на $4$.Теперь найдем сумму их квадратов: $a^2 + b^2 = 1^2 + 3^2 = 1+9=10$.Число $10$ не делится нацело на $4$, поскольку $10 = 4 \cdot 2 + 2$.Так как мы нашли случай, когда условие выполняется, а следствие — нет, то данное утверждение в общем виде неверно.

Ответ: нет, нельзя утверждать.

3) сумма их кубов

Рассмотрим выражение для суммы кубов: $a^3 + b^3$. Используем формулу сокращенного умножения: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.По условию задачи, множитель $(a+b)$ делится на $n$. Это значит, что $a+b = kn$ для некоторого целого числа $k$.Подставим это в наше выражение: $a^3 + b^3 = (kn)(a^2-ab+b^2) = n \cdot (k(a^2-ab+b^2))$.Так как $a$, $b$ и $k$ — целые числа, то и выражение $k(a^2-ab+b^2)$ является целым числом.Следовательно, $a^3 + b^3$ является произведением числа $n$ и целого числа, а значит, $a^3 + b^3$ делится нацело на $n$.

Ответ: да, можно утверждать.