Номер 834, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 834, страница 140.

Условие.

834. Докажите, что если $a + 3b = 2$, то $a^3 + 27b^3 = 8 - 18ab$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся исходным равенством $a + 3b = 2$. Возведем обе части этого равенства в третью степень (в куб). Для этого нам понадобится формула куба суммы двух выражений: $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$.

Возводим в куб исходное равенство:

$(a + 3b)^3 = 2^3$

Теперь применим формулу куба суммы к левой части, считая, что $x=a$ и $y=3b$:

$a^3 + (3b)^3 + 3 \cdot a \cdot (3b) \cdot (a+3b) = 8$

Упростим полученное выражение:

$a^3 + 27b^3 + 9ab(a+3b) = 8$

Согласно условию задачи, мы знаем, что $a+3b=2$. Подставим это значение в наше равенство:

$a^3 + 27b^3 + 9ab \cdot 2 = 8$

Выполним умножение:

$a^3 + 27b^3 + 18ab = 8$

Чтобы получить требуемое тождество, перенесем слагаемое $18ab$ из левой части уравнения в правую, изменив при этом его знак на противоположный:

$a^3 + 27b^3 = 8 - 18ab$

Таким образом, мы доказали, что если $a + 3b = 2$, то $a^3 + 27b^3 = 8 - 18ab$.

Ответ: что и требовалось доказать.