Номер 841, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 841, страница 141.

Условие.

841. Есть $100$ кучек по $100$ монет. Одна из кучек состоит из фальшивых монет, каждая из которых на $1$ г легче настоящей. Масса настоящей монеты составляет $10$ г. Какое наименьшее количество взвешиваний на пружинных весах со стрелкой надо сделать, чтобы найти кучку из фальшивых монет?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы найти кучку с фальшивыми монетами, достаточно совершить всего одно взвешивание. Вот как это делается:

1. Нужно пронумеровать все 100 кучек от 1 до 100.
2. Из кучки с номером 1 взять 1 монету, из кучки с номером 2 — 2 монеты, из кучки с номером 3 — 3 монеты, и так далее, до сотой кучки, из которой нужно взять 100 монет.
3. Все отобранные монеты положить на пружинные весы и взвесить их все вместе за один раз.

Расчет

Сначала вычислим, какой должна быть масса всех этих монет, если бы все они были настоящими.Общее количество монет, взятых для взвешивания, равно сумме чисел от 1 до 100. Эту сумму можно найти по формуле суммы арифметической прогрессии:$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$В нашем случае $n=100$, $a_1=1$, $a_{100}=100$.Количество монет = $ \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$ монет.

Масса одной настоящей монеты составляет 10 г. Следовательно, эталонная масса всех отобранных монет, если бы они были настоящими, составила бы:$W_{эталон} = 5050 \times 10 \text{ г} = 50500 \text{ г}$.

Определение фальшивой кучки

По условию, одна из кучек состоит из фальшивых монет, каждая из которых на 1 г легче настоящей.

Если фальшивая кучка имеет номер $k$, это означает, что мы взяли из нее ровно $k$ монет. Каждая из этих $k$ монет на 1 г легче, поэтому общая масса на весах будет на $k$ граммов меньше эталонной.

Таким образом, для определения номера фальшивой кучки нужно из эталонной массы (50500 г) вычесть массу, которую показали весы. Полученная разница в граммах и будет номером кучки с фальшивыми монетами.

Например, если весы показали 50488 г, то разница составляет:$50500 \text{ г} - 50488 \text{ г} = 12 \text{ г}$.Это означает, что фальшивой является кучка под номером 12.

Этот метод позволяет однозначно определить искомую кучку за одно-единственное взвешивание, так как каждой возможной разнице веса (от 1 г до 100 г) соответствует уникальный номер кучки.

Ответ: 1 взвешивание.