Номер 836, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 836, страница 140.

Условие.

836. Какая последняя цифра значения выражения $3^{16} + 7^{16}$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти последнюю цифру значения выражения, нам необходимо определить последнюю цифру каждого из слагаемых ($3^{16}$ и $7^{16}$) и затем найти последнюю цифру их суммы.

Нахождение последней цифры числа $3^{16}$

Рассмотрим, как изменяется последняя цифра при возведении числа 3 в степень:

$3^1$ оканчивается на 3

$3^2$ оканчивается на 9

$3^3 = 27$ оканчивается на 7

$3^4 = 81$ оканчивается на 1

$3^5 = 243$ оканчивается на 3

Видно, что последние цифры степеней числа 3 циклически повторяются с периодом 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы найти последнюю цифру числа $3^{16}$, нужно определить, на каком месте в этом цикле она находится. Для этого разделим показатель степени 16 на длину цикла 4:

$16 : 4 = 4$ с остатком 0.

Остаток 0 говорит о том, что последняя цифра будет такой же, как у последнего (четвертого) элемента цикла, то есть 1. Таким образом, число $3^{16}$ оканчивается на 1.

Нахождение последней цифры числа $7^{16}$

Проделаем аналогичную операцию для числа $7^{16}$. Рассмотрим последние цифры его степеней:

$7^1$ оканчивается на 7

$7^2 = 49$ оканчивается на 9

$7^3 = 343$ оканчивается на 3

$7^4 = 2401$ оканчивается на 1

$7^5 = 16807$ оканчивается на 7

Здесь последние цифры также повторяются с периодом 4: (7, 9, 3, 1). Разделим показатель степени 16 на длину цикла 4:

$16 : 4 = 4$ с остатком 0.

Как и в предыдущем случае, остаток 0 означает, что последняя цифра $7^{16}$ совпадает с последней цифрой четвертого элемента цикла, то есть с 1. Таким образом, число $7^{16}$ оканчивается на 1.

Нахождение последней цифры суммы

Теперь, чтобы найти последнюю цифру выражения $3^{16} + 7^{16}$, достаточно сложить последние цифры каждого слагаемого:

Последняя цифра $3^{16}$ это 1.

Последняя цифра $7^{16}$ это 1.

Последняя цифра их суммы будет такой же, как последняя цифра суммы $1 + 1 = 2$.

Следовательно, последняя цифра значения выражения $3^{16} + 7^{16}$ равна 2.

Ответ: 2