Номер 838, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 838, страница 141.

Условие.

838. Найдите значение каждого из следующих выражений при $a = 1$ и $a = -1$:

1) $a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{99} + a^{100};$

2) $a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{98} + a^{99};$

3) $a a^2 a^3 a^4 \dots a^{99} a^{100};$

4) $a a^2 a^3 a^4 \dots a^{98} a^{99}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $a + a^2 + a^3 + a^4 + ... + a^{99} + a^{100}$

При $a = 1$:
Подставляем значение $a=1$ в выражение. Так как $1^n = 1$ для любого натурального числа $n$, мы получаем сумму ста слагаемых, каждое из которых равно 1.
$1^1 + 1^2 + 1^3 + ... + 1^{100} = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 100$.

При $a = -1$:
Подставляем значение $a=-1$. Степень $(-1)^n$ равна 1, если $n$ — четное число, и -1, если $n$ — нечетное. Выражение принимает вид:
$(-1)^1 + (-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4 + ... + (-1)^{99} + (-1)^{100} = -1 + 1 - 1 + 1 + ... - 1 + 1$.
Это сумма 100 слагаемых. Их можно сгруппировать в 50 пар вида $(-1+1)$. Сумма каждой пары равна 0, следовательно, вся сумма равна 0.
$(-1+1) + (-1+1) + ... + (-1+1) = 50 \cdot 0 = 0$.

Ответ: при $a=1$ значение равно 100; при $a=-1$ значение равно 0.

2) $a + a^2 + a^3 + a^4 + ... + a^{98} + a^{99}$

При $a = 1$:
Аналогично предыдущему пункту, подставляем $a=1$. Выражение представляет собой сумму 99 слагаемых, каждое из которых равно 1.
$1 + 1 + ... + 1$ (99 слагаемых) $= 99$.

При $a = -1$:
Подставляем $a=-1$. Выражение принимает вид:
$(-1)^1 + (-1)^2 + (-1)^3 + ... + (-1)^{98} + (-1)^{99} = -1 + 1 - 1 + ... + 1 - 1$.
Всего в сумме 99 слагаемых. Первые 98 слагаемых можно сгруппировать в $98/2=49$ пар вида $(-1+1)$, сумма которых равна 0. Последнее слагаемое равно $(-1)^{99} = -1$.
Таким образом, значение всего выражения равно $0 + (-1) = -1$.

Ответ: при $a=1$ значение равно 99; при $a=-1$ значение равно -1.

3) $a \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot a^4 \cdot ... \cdot a^{99} \cdot a^{100}$

При $a = 1$:
При подстановке $a=1$ выражение становится произведением ста единиц, что равно 1.
$1^1 \cdot 1^2 \cdot 1^3 \cdot ... \cdot 1^{100} = 1$.

При $a = -1$:
Сначала упростим выражение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$a^1 \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot ... \cdot a^{100} = a^{1+2+3+...+100}$.
Сумма в показателе является суммой арифметической прогрессии от 1 до 100. Найдем ее по формуле $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$:
$S_{100} = \frac{100(100+1)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 50 \cdot 101 = 5050$.
Выражение равно $a^{5050}$. Теперь подставим $a=-1$:
$(-1)^{5050}$.
Так как показатель степени 5050 является четным числом, результат равен 1.

Ответ: при $a=1$ значение равно 1; при $a=-1$ значение равно 1.

4) $a \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot a^4 \cdot ... \cdot a^{98} \cdot a^{99}$

При $a = 1$:
При подстановке $a=1$ выражение становится произведением 99 единиц, что равно 1.
$1^1 \cdot 1^2 \cdot 1^3 \cdot ... \cdot 1^{99} = 1$.

При $a = -1$:
Упростим выражение: $a^{1+2+3+...+99}$.
Найдем сумму показателей — сумму первых 99 натуральных чисел:
$S_{99} = \frac{99(99+1)}{2} = \frac{99 \cdot 100}{2} = 99 \cdot 50 = 4950$.
Выражение равно $a^{4950}$. Подставим $a=-1$:
$(-1)^{4950}$.
Так как показатель степени 4950 является четным числом, результат равен 1.

Ответ: при $a=1$ значение равно 1; при $a=-1$ значение равно 1.