Номер 833, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 833, страница 140.

Условие.

833. Докажите, что если $2a - b = 1$, то $8a^3 - b^3 = 6ab + 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства утверждения необходимо, исходя из условия $2a - b = 1$, прийти к равенству $8a^3 - b^3 = 6ab + 1$.

Возведем обе части исходного равенства $2a - b = 1$ в третью степень (в куб):

$(2a - b)^3 = 1^3$

Для раскрытия скобок в левой части применим формулу сокращенного умножения для куба разности. Удобно использовать её в следующем виде: $(x-y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x-y)$.

В нашем случае $x = 2a$ и $y = b$. Применим формулу:

$(2a)^3 - b^3 - 3 \cdot (2a) \cdot b \cdot (2a - b) = 1$

Выполним упрощение выражения:

$8a^3 - b^3 - 6ab(2a - b) = 1$

Теперь воспользуемся первоначальным условием, согласно которому выражение в скобках равно единице: $2a - b = 1$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$8a^3 - b^3 - 6ab \cdot (1) = 1$

В результате получаем:

$8a^3 - b^3 - 6ab = 1$

Осталось перенести член $-6ab$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$8a^3 - b^3 = 6ab + 1$

Таким образом, мы доказали, что из равенства $2a - b = 1$ следует равенство $8a^3 - b^3 = 6ab + 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.