Номер 830, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 830, страница 140.

Условие.

830. Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть даны два последовательных натуральных числа, ни одно из которых не кратно 3.

Любое натуральное число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. Если число кратно 3, то остаток равен 0. Поскольку нам даны два последовательных числа, и ни одно из них не делится на 3, то их остатки от деления на 3 не могут быть равны 0. Для двух последовательных чисел возможны следующие пары остатков: (0, 1), (1, 2) и (2, 0). Условию задачи удовлетворяет только пара (1, 2).

Таким образом, эти два числа можно представить в виде $3k+1$ и $3k+2$ для некоторого целого неотрицательного числа $k$ (например, при $k=0$ это числа 1 и 2).

Обозначим меньшее из чисел как $n = 3k+1$. Тогда следующее число будет $n+1 = 3k+2$.

Нам нужно доказать, что сумма их кубов, $n^3 + (n+1)^3$, делится на 9.

Рассмотрим выражение для суммы кубов $S = n^3 + (n+1)^3$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и преобразуем выражение:

$S = (n + (n+1)) \cdot (n^2 - n(n+1) + (n+1)^2)$

Сначала упростим второй множитель в скобках:

$n^2 - n(n+1) + (n+1)^2 = n^2 - (n^2+n) + (n^2+2n+1) = n^2 - n^2 - n + n^2 + 2n + 1 = n^2 + n + 1$

Таким образом, выражение для суммы кубов принимает вид:

$S = (2n+1)(n^2+n+1)$

Теперь подставим $n = 3k+1$ в каждый из множителей.

Первый множитель:

$2n+1 = 2(3k+1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k+1)$

Как видим, первый множитель делится на 3.

Второй множитель:

$n^2+n+1 = (3k+1)^2 + (3k+1) + 1 = (9k^2 + 6k + 1) + 3k + 1 + 1 = 9k^2 + 9k + 3 = 3(3k^2 + 3k + 1)$

Второй множитель также делится на 3.

Теперь перемножим полученные выражения для множителей, чтобы найти S:

$S = [3(2k+1)] \cdot [3(3k^2 + 3k + 1)] = 9 \cdot (2k+1)(3k^2 + 3k + 1)$

Поскольку $k$ является целым неотрицательным числом, то выражение $(2k+1)(3k^2 + 3k + 1)$ также является целым числом. Следовательно, вся сумма $S$ представляет собой произведение числа 9 и целого числа, а значит, она делится нацело на 9.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, всегда делится на 9, так как ее можно представить в виде произведения 9 на целое число.