Номер 843, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 843, страница 144.

Условие.

843. Разложите на множители многочлен:

1) $2a^2 - 2b^2$;

2) $cx^2 - cy^2$;

3) $3x^2 - 3$;

4) $3ab^2 - 27a$;

5) $x^3 - 4x$;

6) $2y^3 - 18y$;

7) $x^4 - x^2$;

8) $0,09t^4 - t^6$;

9) $\frac{16}{49}a^2b^4c^5 - b^2c^3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для разложения многочлена $2a^2 - 2b^2$ на множители, сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для обоих членов является 2.
$2a^2 - 2b^2 = 2(a^2 - b^2)$
Теперь выражение в скобках $a^2 - b^2$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
$2(a^2 - b^2) = 2(a-b)(a+b)$
Ответ: $2(a-b)(a+b)$.

2) В многочлене $cx^2 - cy^2$ вынесем за скобки общий множитель $c$.
$cx^2 - cy^2 = c(x^2 - y^2)$
Выражение в скобках $x^2 - y^2$ является разностью квадратов. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$c(x^2 - y^2) = c(x-y)(x+y)$
Ответ: $c(x-y)(x+y)$.

3) В выражении $3x^2 - 3$ вынесем общий множитель 3 за скобки.
$3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$
В скобках получили разность квадратов, так как $1 = 1^2$. Применяем формулу разности квадратов.
$3(x^2 - 1^2) = 3(x-1)(x+1)$
Ответ: $3(x-1)(x+1)$.

4) Для многочлена $3ab^2 - 27a$ найдем общий множитель. Для коэффициентов 3 и 27 это 3, а из переменных — $a$. Таким образом, общий множитель — $3a$.
$3ab^2 - 27a = 3a(b^2 - 9)$
Выражение в скобках $b^2 - 9$ является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$.
$3a(b^2 - 3^2) = 3a(b-3)(b+3)$
Ответ: $3a(b-3)(b+3)$.

5) В многочлене $x^3 - 4x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки.
$x^3 - 4x = x(x^2 - 4)$
Выражение в скобках $x^2 - 4$ — это разность квадратов, поскольку $4=2^2$.
$x(x^2 - 2^2) = x(x-2)(x+2)$
Ответ: $x(x-2)(x+2)$.

6) В выражении $2y^3 - 18y$ общим множителем является $2y$. Вынесем его за скобки.
$2y^3 - 18y = 2y(y^2 - 9)$
В скобках имеем разность квадратов $y^2 - 9 = y^2 - 3^2$.
$2y(y^2 - 3^2) = 2y(y-3)(y+3)$
Ответ: $2y(y-3)(y+3)$.

7) В многочлене $x^4 - x^2$ вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $x^2$.
$x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1)$
Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов.
$x^2(x^2 - 1^2) = x^2(x-1)(x+1)$
Ответ: $x^2(x-1)(x+1)$.

8) В многочлене $0,09t^4 - t^6$ вынесем за скобки общий множитель $t^4$.
$0,09t^4 - t^6 = t^4(0,09 - t^2)$
Выражение в скобках является разностью квадратов, так как $0,09 = (0,3)^2$.
$t^4((0,3)^2 - t^2) = t^4(0,3-t)(0,3+t)$
Ответ: $t^4(0,3-t)(0,3+t)$.

9) Рассмотрим многочлен $\frac{16}{49}a^2b^4c^5 - b^2c^3$. Найдем общий множитель. Для переменных это $b^2c^3$. Вынесем его за скобки.
$\frac{16}{49}a^2b^4c^5 - b^2c^3 = b^2c^3(\frac{16}{49}a^2b^{4-2}c^{5-3} - 1) = b^2c^3(\frac{16}{49}a^2b^2c^2 - 1)$
Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, так как $\frac{16}{49}a^2b^2c^2 = (\frac{4}{7}abc)^2$ и $1 = 1^2$.
$b^2c^3((\frac{4}{7}abc)^2 - 1^2) = b^2c^3(\frac{4}{7}abc - 1)(\frac{4}{7}abc + 1)$
Ответ: $b^2c^3(\frac{4}{7}abc - 1)(\frac{4}{7}abc + 1)$.