Номер 846, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 846, страница 144.

Условие.

846. Разложите на множители:

1) $3a^2 + 6ab + 3b^2$;

2) $5m^2 + 5n^2 - 10mn$;

3) $-3x^2 + 12x - 12$;

4) $-7b^2 - 14bc - 7c^2$;

5) $x^2y + 14xy^2 + 49y^3$;

6) $-8a^3b + 56a^2b^2 - 98ab^3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $3a^2 + 6ab + 3b^2$
Первым шагом вынесем общий числовой множитель 3 за скобки: $3(a^2 + 2ab + b^2)$.
Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
В данном случае $x=a$ и $y=b$, следовательно, $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $3(a+b)^2$.
Ответ: $3(a+b)^2$.

2) $5m^2 + 5n^2 - 10mn$
Для удобства переставим члены многочлена: $5m^2 - 10mn + 5n^2$.
Вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(m^2 - 2mn + n^2)$.
Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
Здесь $x=m$ и $y=n$, поэтому $m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$.
В результате получаем $5(m-n)^2$.
Ответ: $5(m-n)^2$.

3) $-3x^2 + 12x - 12$
Вынесем общий множитель -3 за скобки. При этом знаки в скобках изменятся на противоположные: $-3(x^2 - 4x + 4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=2$, так как $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.
Итоговое выражение: $-3(x-2)^2$.
Ответ: $-3(x-2)^2$.

4) $-7b^2 - 14bc - 7c^2$
Вынесем общий множитель -7 за скобки: $-7(b^2 + 2bc + c^2)$.
Выражение в скобках — это квадрат суммы: $(b+c)^2 = b^2+2bc+c^2$.
Следовательно, получаем $-7(b+c)^2$.
Ответ: $-7(b+c)^2$.

5) $x^2y + 14xy^2 + 49y^3$
Вынесем общий множитель $y$ за скобки: $y(x^2 + 14xy + 49y^2)$.
Рассмотрим выражение в скобках. Это полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Здесь $a=x$ и $b=7y$, так как $x^2 + 14xy + 49y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (7y) + (7y)^2 = (x+7y)^2$.
В итоге получаем $y(x+7y)^2$.
Ответ: $y(x+7y)^2$.

6) $-8a^3b + 56a^2b^2 - 98ab^3$
Найдем общий множитель для всех членов. Для коэффициентов $-8, 56, -98$ общий делитель 2. Для переменных — $ab$. Вынесем за скобки $-2ab$:
$-2ab(4a^2 - 28ab + 49b^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности. Применим формулу $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
В нашем случае $x=2a$ и $y=7b$, так как $4a^2 - 28ab + 49b^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot (7b) + (7b)^2 = (2a-7b)^2$.
Окончательный вид выражения: $-2ab(2a-7b)^2$.
Ответ: $-2ab(2a-7b)^2$.