Номер 848, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 848, страница 144.

Условие.

848. Завершите разложение на множители:

1) $a^4 - 10000 = (a^2)^2 - 100^2 = (a^2 - 100)(a^2 + 100) = ...$;

2) $m^8 - n^4 = (m^4)^2 - (n^2)^2 = (m^4 - n^2)(m^4 + n^2) = ...$

Решение 1.

Решение 5.

1) Чтобы завершить разложение, необходимо продолжить с выражения $(a^2 - 100)(a^2 + 100)$.

Мы видим, что первый множитель $(a^2 - 100)$ является разностью квадратов, так как $a^2 = (a)^2$ и $100 = 10^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$a^2 - 100 = (a - 10)(a + 10)$

Второй множитель $(a^2 + 100)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение исходного выражения $a^4 - 10000$ на множители выглядит так:

$(a - 10)(a + 10)(a^2 + 100)$

Ответ: $(a - 10)(a + 10)(a^2 + 100)$.

2) Чтобы завершить разложение, продолжим с выражения $(m^4 - n^2)(m^4 + n^2)$.

Рассмотрим первый множитель $(m^4 - n^2)$. Это тоже разность квадратов, где $m^4 = (m^2)^2$ и $n^2 = (n)^2$. Снова применяем формулу разности квадратов:

$m^4 - n^2 = (m^2 - n)(m^2 + n)$

Второй множитель $(m^4 + n^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Собрав все вместе, получаем окончательное разложение исходного выражения $m^8 - n^4$ на множители:

$(m^2 - n)(m^2 + n)(m^4 + n^2)$

Ответ: $(m^2 - n)(m^2 + n)(m^4 + n^2)$.