Номер 854, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 854, страница 144.

Условие.

854. Разложите на множители:

1) $a^7 + ab^6$;

2) $x^8 - y^8$;

3) $c^6 - 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $a^7 + ab^6$
Для разложения на множители данного выражения сначала вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a^7 + ab^6 = a(a^6 + b^6)$
Выражение в скобках, $a^6 + b^6$, можно представить как сумму кубов, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$:
$a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3$
Теперь применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. В нашем случае $x = a^2$ и $y = b^2$.
$(a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2 + b^2)((a^2)^2 - a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2) = (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$
Подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:
$a(a^6 + b^6) = a(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$
Дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.
Ответ: $a(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

2) $x^8 - y^8$
Это выражение представляет собой разность квадратов, так как $x^8 = (x^4)^2$ и $y^8 = (y^4)^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$
Первый множитель, $x^4 - y^4$, снова является разностью квадратов, так как $x^4 = (x^2)^2$ и $y^4 = (y^2)^2$. Разложим его:
$x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$
Множитель $x^2 - y^2$ также является разностью квадратов. Разложим и его:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
Теперь соберем все полученные множители вместе. Множитель $x^4+y^4$ (сумма квадратов) не раскладывается на множители с действительными целыми коэффициентами.
$x^8 - y^8 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$
Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$

3) $c^6 - 1$
Данное выражение можно разложить на множители, представив его как разность квадратов или как разность кубов. Рассмотрим разложение через разность квадратов.
Представим $c^6 - 1$ как $(c^3)^2 - 1^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(c^3)^2 - 1^2 = (c^3 - 1)(c^3 + 1)$
Теперь у нас есть два множителя: $c^3 - 1$ (разность кубов) и $c^3 + 1$ (сумма кубов).
Раскладываем разность кубов по формуле $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$:
$c^3 - 1 = c^3 - 1^3 = (c - 1)(c^2 + c \cdot 1 + 1^2) = (c - 1)(c^2 + c + 1)$
Раскладываем сумму кубов по формуле $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:
$c^3 + 1 = c^3 + 1^3 = (c + 1)(c^2 - c \cdot 1 + 1^2) = (c + 1)(c^2 - c + 1)$
Объединяем все множители:
$c^6 - 1 = (c - 1)(c^2 + c + 1)(c + 1)(c^2 - c + 1)$
Для удобства можно сгруппировать множители:
$(c - 1)(c + 1)(c^2 - c + 1)(c^2 + c + 1)$
Ответ: $(c - 1)(c + 1)(c^2 - c + 1)(c^2 + c + 1)$