Номер 847, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 847, страница 144.

Условие.

847. Разложите на множители:

1) $8x^2 + 16xy + 8y^2$;

2) $-2a^2 + 24ab - 72b^2$;

3) $-12b^3 - 12b^2 - 3b$;

4) $48m^3n - 72m^2n + 27mn.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для разложения на множители выражения $8x^2 + 16xy + 8y^2$ первым шагом вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для всех членов является число 8.
$8x^2 + 16xy + 8y^2 = 8(x^2 + 2xy + y^2)$
Выражение в скобках $x^2 + 2xy + y^2$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=y$.
$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$
Подставим это обратно в наше выражение:
$8(x^2 + 2xy + y^2) = 8(x+y)^2$
Ответ: $8(x+y)^2$

2) Рассмотрим выражение $-2a^2 + 24ab - 72b^2$. Вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для коэффициентов -2, 24 и -72 является -2.
$-2a^2 + 24ab - 72b^2 = -2(a^2 - 12ab + 36b^2)$
Выражение в скобках $a^2 - 12ab + 36b^2$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае первый член это $a^2$, а второй член это $36b^2 = (6b)^2$. Проверим средний член: $-2 \cdot a \cdot 6b = -12ab$. Формула верна.
$a^2 - 12ab + 36b^2 = (a-6b)^2$
Таким образом, окончательное разложение на множители:
$-2(a^2 - 12ab + 36b^2) = -2(a-6b)^2$
Ответ: $-2(a-6b)^2$

3) Для выражения $-12b^3 - 12b^2 - 3b$ найдем общий множитель. Общий числовой множитель для -12, -12 и -3 это -3. Общий переменный множитель это $b$. Значит, выносим за скобки $-3b$.
$-12b^3 - 12b^2 - 3b = -3b(4b^2 + 4b + 1)$
Выражение в скобках $4b^2 + 4b + 1$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = 2b$ и $b = 1$. Проверим: $(2b)^2 + 2 \cdot (2b) \cdot 1 + 1^2 = 4b^2 + 4b + 1$. Формула верна.
$4b^2 + 4b + 1 = (2b+1)^2$
Следовательно, итоговое разложение:
$-3b(4b^2 + 4b + 1) = -3b(2b+1)^2$
Ответ: $-3b(2b+1)^2$

4) В выражении $48m^3n - 72m^2n + 27mn$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 48, 72 и 27 равен 3. Общий переменный множитель для $m^3n$, $m^2n$ и $mn$ равен $mn$. Вынесем $3mn$ за скобки.
$48m^3n - 72m^2n + 27mn = 3mn(16m^2 - 24m + 9)$
Выражение в скобках $16m^2 - 24m + 9$ является полным квадратом разности. Применим формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=4m$ и $b=3$. Проверим: $(4m)^2 - 2 \cdot (4m) \cdot 3 + 3^2 = 16m^2 - 24m + 9$. Формула верна.
$16m^2 - 24m + 9 = (4m-3)^2$
Окончательный результат разложения на множители:
$3mn(16m^2 - 24m + 9) = 3mn(4m-3)^2$
Ответ: $3mn(4m-3)^2$