Номер 852, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 20. Применение различных способов разложения многочлена на множители. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 852, страница 144.

Условие.

852. Разложите на множители:

1) $4a^3 - 4b^3;$

2) $2m^3 - 16;$

3) $7 + 7b^3;$

4) $-x^4 + 27x,$

5) $2a^4 - 250a;$

6) $9a^5 - 9a^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $4a^3 - 4b^3$

Первым шагом вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4a^3 - 4b^3 = 4(a^3 - b^3)$

Выражение в скобках, $a^3 - b^3$, является разностью кубов. Применим формулу сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В данном случае $x=a$ и $y=b$. Подставляем в формулу:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Объединяем все вместе и получаем итоговое разложение:

$4(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $4(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

2) $2m^3 - 16$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2m^3 - 16 = 2(m^3 - 8)$

Заметим, что 8 это $2^3$. Выражение в скобках является разностью кубов:

$m^3 - 8 = m^3 - 2^3$

Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x=m$ и $y=2$.

$m^3 - 2^3 = (m - 2)(m^2 + m \cdot 2 + 2^2) = (m - 2)(m^2 + 2m + 4)$

Таким образом, полное разложение на множители:

$2(m - 2)(m^2 + 2m + 4)$

Ответ: $2(m - 2)(m^2 + 2m + 4)$

3) $7 + 7b^3$

Вынесем общий множитель 7 за скобки:

$7 + 7b^3 = 7(1 + b^3)$

Выражение в скобках, $1 + b^3$, представляет собой сумму кубов, так как $1 = 1^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

В нашем случае $x=1$ и $y=b$. Применяем формулу:

$1^3 + b^3 = (1 + b)(1^2 - 1 \cdot b + b^2) = (1 + b)(1 - b + b^2)$

Итоговое разложение:

$7(1 + b)(1 - b + b^2)$

Ответ: $7(1 + b)(1 - b + b^2)$

4) $-x^4 + 27x$

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки, чтобы получить в скобках положительный старший член:

$-x^4 + 27x = -x(x^3 - 27)$

Выражение в скобках, $x^3 - 27$, является разностью кубов, так как $27 = 3^3$.

$x^3 - 27 = x^3 - 3^3$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=x$ и $b=3$.

$x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + x \cdot 3 + 3^2) = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

Полное разложение выглядит так:

$-x(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

Ответ: $-x(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

5) $2a^4 - 250a$

Вынесем общий множитель $2a$ за скобки:

$2a^4 - 250a = 2a(a^3 - 125)$

Выражение в скобках, $a^3 - 125$, является разностью кубов, так как $125 = 5^3$.

$a^3 - 125 = a^3 - 5^3$

Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x=a$ и $y=5$.

$a^3 - 5^3 = (a - 5)(a^2 + a \cdot 5 + 5^2) = (a - 5)(a^2 + 5a + 25)$

Таким образом, итоговое разложение:

$2a(a - 5)(a^2 + 5a + 25)$

Ответ: $2a(a - 5)(a^2 + 5a + 25)$

6) $9a^5 - 9a^2$

Вынесем общий множитель $9a^2$ за скобки:

$9a^5 - 9a^2 = 9a^2(a^3 - 1)$

Выражение в скобках, $a^3 - 1$, является разностью кубов, так как $1 = 1^3$.

$a^3 - 1 = a^3 - 1^3$

Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x=a$ и $y=1$.

$a^3 - 1^3 = (a - 1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = (a - 1)(a^2 + a + 1)$

Полное разложение на множители:

$9a^2(a - 1)(a^2 + a + 1)$

Ответ: $9a^2(a - 1)(a^2 + a + 1)$