Номер 816, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 816, страница 139.

Условие.

816. Найдите значение выражения:

1) $(1 - b^2)(1 + b^2 + b^4)$, если $b = -2$;

2) $2x^3 + 7 - (x + 1)(x^2 - x + 1)$, если $x = -1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Найдите значение выражения $(1 - b^2)(1 + b^2 + b^4)$, если $b = -2$.

Для решения этой задачи можно упростить исходное выражение, используя формулы сокращенного умножения, а именно формулу разности кубов: $a^3 - c^3 = (a - c)(a^2 + ac + c^2)$.

В данном выражении можно сделать замену: пусть $a = 1$ и $c = b^2$. Тогда выражение $(1 - b^2)(1 + b^2 + b^4)$ можно представить в следующем виде:

$(1 - b^2)(1^2 + 1 \cdot b^2 + (b^2)^2) = (1 - b^2)(1 + b^2 + b^4)$

Это полностью соответствует правой части формулы разности кубов. Следовательно, мы можем "свернуть" это выражение:

$(1 - b^2)(1 + b^2 + b^4) = 1^3 - (b^2)^3 = 1 - b^6$.

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $b = -2$:

$1 - b^6 = 1 - (-2)^6$

Вычислим $(-2)^6$:

$(-2)^6 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 64$.

Подставим результат обратно в выражение:

$1 - 64 = -63$.

Ответ: -63

2) Найдите значение выражения $2x^3 + 7 - (x + 1)(x^2 - x + 1)$, если $x = -1$.

Сначала упростим данное выражение. Обратим внимание на его часть $(x + 1)(x^2 - x + 1)$. Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + c^3 = (a + c)(a^2 - ac + c^2)$.

В нашем случае, если мы примем $a = x$ и $c = 1$, то получим:

$(x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Таким образом, эту часть выражения можно "свернуть" по формуле суммы кубов:

$(x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.

Теперь подставим это упрощение в исходное выражение:

$2x^3 + 7 - (x^3 + 1)$

Раскроем скобки (обращая внимание на знак "минус" перед ними):

$2x^3 + 7 - x^3 - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^3 - x^3) + (7 - 1) = x^3 + 6$.

Теперь подставим значение $x = -1$ в полученное упрощенное выражение $x^3 + 6$:

$(-1)^3 + 6 = -1 + 6 = 5$.

Ответ: 5