Номер 810, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Сумма и разность кубов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 810, страница 138.

Условие.

810. Разложите на множители:

1) $a^{12} + b^9$;

2) $x^{18} - y^{27}$;

3) $m^6n^3 - p^{12}$;

4) $a^{24}b^{33} + 1$;

5) $8m^6 + 27n^9$;

6) $0.027x^{21} + 0.125y^{24}$;

7) $0.216 - 8c^{27}$;

8) $1000a^{12}b^3 - 0.001c^6d^{15}$.

Решение 1.

Решение 5.

1) Чтобы разложить на множители выражение $a^{12} + b^9$, представим его как сумму кубов. Для этого воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим каждое слагаемое в виде куба:
$a^{12} = (a^4)^3$
$b^9 = (b^3)^3$
Таким образом, исходное выражение можно записать как $(a^4)^3 + (b^3)^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $A = a^4$ и $B = b^3$:
$a^{12} + b^9 = (a^4)^3 + (b^3)^3 = (a^4 + b^3)((a^4)^2 - a^4 \cdot b^3 + (b^3)^2) = (a^4 + b^3)(a^8 - a^4b^3 + b^6)$.
Ответ: $(a^4 + b^3)(a^8 - a^4b^3 + b^6)$.

2) Для разложения выражения $x^{18} - y^{27}$ на множители, представим его как разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим уменьшаемое и вычитаемое в виде кубов:
$x^{18} = (x^6)^3$
$y^{27} = (y^9)^3$
Исходное выражение принимает вид $(x^6)^3 - (y^9)^3$.
Применим формулу разности кубов, где $A = x^6$ и $B = y^9$:
$x^{18} - y^{27} = (x^6)^3 - (y^9)^3 = (x^6 - y^9)((x^6)^2 + x^6y^9 + (y^9)^2) = (x^6 - y^9)(x^{12} + x^6y^9 + y^{18})$.
Заметим, что множитель $(x^6 - y^9)$ также можно разложить на множители как разность кубов: $x^6 - y^9 = (x^2)^3 - (y^3)^3$.
$(x^2)^3 - (y^3)^3 = (x^2 - y^3)((x^2)^2 + x^2y^3 + (y^3)^2) = (x^2 - y^3)(x^4 + x^2y^3 + y^6)$.
Таким образом, окончательное разложение выглядит так:
$x^{18} - y^{27} = (x^2 - y^3)(x^4 + x^2y^3 + y^6)(x^{12} + x^6y^9 + y^{18})$.
Ответ: $(x^2 - y^3)(x^4 + x^2y^3 + y^6)(x^{12} + x^6y^9 + y^{18})$.

3) Разложим на множители выражение $m^6n^3 - p^{12}$. Представим его как разность кубов, используя формулу $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим каждое слагаемое в виде куба:
$m^6n^3 = (m^2)^3 \cdot n^3 = (m^2n)^3$
$p^{12} = (p^4)^3$
Выражение принимает вид $(m^2n)^3 - (p^4)^3$.
Подставим в формулу, где $A = m^2n$ и $B = p^4$:
$m^6n^3 - p^{12} = (m^2n)^3 - (p^4)^3 = (m^2n - p^4)((m^2n)^2 + (m^2n)(p^4) + (p^4)^2) = (m^2n - p^4)(m^4n^2 + m^2np^4 + p^8)$.
Ответ: $(m^2n - p^4)(m^4n^2 + m^2np^4 + p^8)$.

4) Разложим на множители выражение $a^{24}b^{33} + 1$. Представим его как сумму кубов, используя формулу $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим слагаемые в виде кубов:
$a^{24}b^{33} = a^{3 \cdot 8}b^{3 \cdot 11} = (a^8b^{11})^3$
$1 = 1^3$
Выражение принимает вид $(a^8b^{11})^3 + 1^3$.
Подставим в формулу, где $A = a^8b^{11}$ и $B = 1$:
$a^{24}b^{33} + 1 = (a^8b^{11})^3 + 1^3 = (a^8b^{11} + 1)((a^8b^{11})^2 - (a^8b^{11})(1) + 1^2) = (a^8b^{11} + 1)(a^{16}b^{22} - a^8b^{11} + 1)$.
Ответ: $(a^8b^{11} + 1)(a^{16}b^{22} - a^8b^{11} + 1)$.

5) Разложим на множители выражение $8m^6 + 27n^9$. Представим его как сумму кубов, используя формулу $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим слагаемые в виде кубов:
$8m^6 = 2^3 \cdot (m^2)^3 = (2m^2)^3$
$27n^9 = 3^3 \cdot (n^3)^3 = (3n^3)^3$
Выражение принимает вид $(2m^2)^3 + (3n^3)^3$.
Подставим в формулу, где $A = 2m^2$ и $B = 3n^3$:
$8m^6 + 27n^9 = (2m^2)^3 + (3n^3)^3 = (2m^2 + 3n^3)((2m^2)^2 - (2m^2)(3n^3) + (3n^3)^2) = (2m^2 + 3n^3)(4m^4 - 6m^2n^3 + 9n^6)$.
Ответ: $(2m^2 + 3n^3)(4m^4 - 6m^2n^3 + 9n^6)$.

6) Разложим на множители выражение $0.027x^{21} + 0.125y^{24}$. Представим его как сумму кубов, используя формулу $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим слагаемые в виде кубов:
$0.027x^{21} = (0.3)^3 \cdot (x^7)^3 = (0.3x^7)^3$
$0.125y^{24} = (0.5)^3 \cdot (y^8)^3 = (0.5y^8)^3$
Выражение принимает вид $(0.3x^7)^3 + (0.5y^8)^3$.
Подставим в формулу, где $A = 0.3x^7$ и $B = 0.5y^8$:
$0.027x^{21} + 0.125y^{24} = (0.3x^7 + 0.5y^8)((0.3x^7)^2 - (0.3x^7)(0.5y^8) + (0.5y^8)^2) = (0.3x^7 + 0.5y^8)(0.09x^{14} - 0.15x^7y^8 + 0.25y^{16})$.
Ответ: $(0.3x^7 + 0.5y^8)(0.09x^{14} - 0.15x^7y^8 + 0.25y^{16})$.

7) Разложим на множители выражение $0.216 - 8c^{27}$. Представим его как разность кубов, используя формулу $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим уменьшаемое и вычитаемое в виде кубов:
$0.216 = (0.6)^3$
$8c^{27} = 2^3 \cdot (c^9)^3 = (2c^9)^3$
Выражение принимает вид $(0.6)^3 - (2c^9)^3$.
Подставим в формулу, где $A = 0.6$ и $B = 2c^9$:
$0.216 - 8c^{27} = (0.6 - 2c^9)((0.6)^2 + (0.6)(2c^9) + (2c^9)^2) = (0.6 - 2c^9)(0.36 + 1.2c^9 + 4c^{18})$.
Ответ: $(0.6 - 2c^9)(0.36 + 1.2c^9 + 4c^{18})$.

8) Разложим на множители выражение $1000a^{12}b^3 - 0.001c^6d^{15}$. Представим его как разность кубов, используя формулу $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим уменьшаемое и вычитаемое в виде кубов:
$1000a^{12}b^3 = 10^3 \cdot (a^4)^3 \cdot b^3 = (10a^4b)^3$
$0.001c^6d^{15} = (0.1)^3 \cdot (c^2)^3 \cdot (d^5)^3 = (0.1c^2d^5)^3$
Выражение принимает вид $(10a^4b)^3 - (0.1c^2d^5)^3$.
Подставим в формулу, где $A = 10a^4b$ и $B = 0.1c^2d^5$:
$1000a^{12}b^3 - 0.001c^6d^{15} = (10a^4b - 0.1c^2d^5)((10a^4b)^2 + (10a^4b)(0.1c^2d^5) + (0.1c^2d^5)^2) = (10a^4b - 0.1c^2d^5)(100a^8b^2 + a^4bc^2d^5 + 0.01c^4d^{10})$.
Ответ: $(10a^4b - 0.1c^2d^5)(100a^8b^2 + a^4bc^2d^5 + 0.01c^4d^{10})$.