Страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

805. Какому из данных выражений тождественно равен многочлен

$a^3 - 27:$

1) $(a-3)(a^2+6a+9);$

2) $(a-3)(a^2-9);$

3) $(a-3)(a^2-3a+9);$

4) $(a-3)(a^2+3a+9)?$

Чтобы найти, какому из предложенных выражений тождественно равен многочлен $a^3 - 27$, необходимо разложить данный многочлен на множители. Мы видим, что это разность кубов.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

В нашем случае многочлен $a^3 - 27$ можно представить в виде $a^3 - 3^3$.

Здесь $x = a$ и $y = 3$.

Подставим эти значения в формулу разности кубов:

$a^3 - 3^3 = (a - 3)(a^2 + a \cdot 3 + 3^2)$

Упростим выражение в правой части равенства:

$(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$

Теперь сравним полученное выражение с вариантами ответа:

1) $(a - 3)(a^2 + 6a + 9)$

2) $(a - 3)(a^2 - 9)$

3) $(a - 3)(a^2 - 3a + 9)$

4) $(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$

Как мы видим, результат нашего разложения на множители совпадает с выражением, представленным в пункте 4.

Для проверки можно раскрыть скобки в выражении из пункта 4:

$(a - 3)(a^2 + 3a + 9) = a \cdot a^2 + a \cdot 3a + a \cdot 9 - 3 \cdot a^2 - 3 \cdot 3a - 3 \cdot 9 = a^3 + 3a^2 + 9a - 3a^2 - 9a - 27 = a^3 - 27$.

Преобразование подтверждает, что выражение 4 тождественно равно исходному многочлену.

Ответ: 4) $(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$

806. Разложите на множители:

1) $a^3 + 8;$

2) $c^3 - 64;$

3) $125 - b^3;$

4) $1 + x^3;$

5) $a^3 + 1000;$

6) $27a^3 - 1;$

7) $1000c^3 - 216;$

8) $a^3b^3 - 1;$

9) $m^3n^3 + 0.001;$

10) $\frac{64}{343}m^3 - \frac{125}{216}n^3.$

Для решения всех заданий будем использовать формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

1) $a^3 + 8$

Представим выражение в виде суммы кубов. $8 = 2^3$.

Применим формулу суммы кубов, где в качестве $a$ выступает $a$, а в качестве $b$ выступает $2$.

$a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

Ответ: $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

2) $c^3 - 64$

Представим выражение в виде разности кубов. $64 = 4^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = c$, $b = 4$.

$c^3 - 64 = c^3 - 4^3 = (c - 4)(c^2 + c \cdot 4 + 4^2) = (c - 4)(c^2 + 4c + 16)$.

Ответ: $(c - 4)(c^2 + 4c + 16)$.

3) $125 - b^3$

Представим выражение в виде разности кубов. $125 = 5^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 5$, $b = b$.

$125 - b^3 = 5^3 - b^3 = (5 - b)(5^2 + 5 \cdot b + b^2) = (5 - b)(25 + 5b + b^2)$.

Ответ: $(5 - b)(25 + 5b + b^2)$.

4) $1 + x^3$

Представим выражение в виде суммы кубов. $1 = 1^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = 1$, $b = x$.

$1 + x^3 = 1^3 + x^3 = (1 + x)(1^2 - 1 \cdot x + x^2) = (1 + x)(1 - x + x^2)$.

Ответ: $(1 + x)(1 - x + x^2)$.

5) $a^3 + 1000$

Представим выражение в виде суммы кубов. $1000 = 10^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = a$, $b = 10$.

$a^3 + 1000 = a^3 + 10^3 = (a + 10)(a^2 - a \cdot 10 + 10^2) = (a + 10)(a^2 - 10a + 100)$.

Ответ: $(a + 10)(a^2 - 10a + 100)$.

6) $27a^3 - 1$

Представим выражение в виде разности кубов. $27a^3 = (3a)^3$ и $1 = 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a$ из формулы равно $3a$, а $b$ из формулы равно $1$.

$27a^3 - 1 = (3a)^3 - 1^3 = (3a - 1)((3a)^2 + 3a \cdot 1 + 1^2) = (3a - 1)(9a^2 + 3a + 1)$.

Ответ: $(3a - 1)(9a^2 + 3a + 1)$.

7) $1000c^3 - 216$

Представим выражение в виде разности кубов. $1000c^3 = (10c)^3$ и $216 = 6^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 10c$, $b = 6$.

$1000c^3 - 216 = (10c)^3 - 6^3 = (10c - 6)((10c)^2 + 10c \cdot 6 + 6^2) = (10c - 6)(100c^2 + 60c + 36)$.

Вынесем общие множители из каждой скобки: $2$ из первой и $4$ из второй.

$2(5c - 3) \cdot 4(25c^2 + 15c + 9) = 8(5c - 3)(25c^2 + 15c + 9)$.

Ответ: $8(5c - 3)(25c^2 + 15c + 9)$.

8) $a^3b^3 - 1$

Представим выражение в виде разности кубов. $a^3b^3 = (ab)^3$ и $1 = 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = ab$, $b = 1$.

$a^3b^3 - 1 = (ab)^3 - 1^3 = (ab - 1)((ab)^2 + ab \cdot 1 + 1^2) = (ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$.

Ответ: $(ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$.

9) $m^3n^3 + 0,001$

Представим выражение в виде суммы кубов. $m^3n^3 = (mn)^3$ и $0,001 = (0,1)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = mn$, $b = 0,1$.

$m^3n^3 + 0,001 = (mn)^3 + (0,1)^3 = (mn + 0,1)((mn)^2 - mn \cdot 0,1 + (0,1)^2) = (mn + 0,1)(m^2n^2 - 0,1mn + 0,01)$.

Ответ: $(mn + 0,1)(m^2n^2 - 0,1mn + 0,01)$.

10) $\frac{64}{343}m^3 - \frac{125}{216}n^3$

Представим выражение в виде разности кубов.

$\frac{64}{343}m^3 = (\frac{4}{7}m)^3$, так как $4^3 = 64$ и $7^3 = 343$.

$\frac{125}{216}n^3 = (\frac{5}{6}n)^3$, так как $5^3 = 125$ и $6^3 = 216$.

Применим формулу разности кубов, где $a = \frac{4}{7}m$, $b = \frac{5}{6}n$.

$(\frac{4}{7}m)^3 - (\frac{5}{6}n)^3 = (\frac{4}{7}m - \frac{5}{6}n)((\frac{4}{7}m)^2 + (\frac{4}{7}m)(\frac{5}{6}n) + (\frac{5}{6}n)^2)$

$= (\frac{4}{7}m - \frac{5}{6}n)(\frac{16}{49}m^2 + \frac{20}{42}mn + \frac{25}{36}n^2)$

Упростим дробь $\frac{20}{42}$ до $\frac{10}{21}$.

$= (\frac{4}{7}m - \frac{5}{6}n)(\frac{16}{49}m^2 + \frac{10}{21}mn + \frac{25}{36}n^2)$.

Ответ: $(\frac{4}{7}m - \frac{5}{6}n)(\frac{16}{49}m^2 + \frac{10}{21}mn + \frac{25}{36}n^2)$.

807. Разложите на множители:

1) $x^3 - 1;$

2) $27 + a^3;$

3) $216 - y^3;$

4) $\frac{1}{8}a^3 + b^3;$

5) $0,001m^3 + 8m^3;$

6) $a^3b^3 - c^3.$

Для решения данных задач мы будем использовать формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:
Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

1) Дано выражение $x^3 - 1$.
Это разность кубов, где $a = x$ и $b = 1$, так как $1^3 = 1$.
Применяем формулу разности кубов:
$x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.
Ответ: $(x - 1)(x^2 + x + 1)$.

2) Дано выражение $27 + a^3$.
Это сумма кубов. Представим $27$ как куб числа: $27 = 3^3$.
Выражение принимает вид $3^3 + a^3$. Здесь $a$ в формуле — это $3$, а $b$ в формуле — это $a$.
Применяем формулу суммы кубов:
$3^3 + a^3 = (3 + a)(3^2 - 3 \cdot a + a^2) = (3 + a)(9 - 3a + a^2)$.
Ответ: $(3 + a)(9 - 3a + a^2)$.

3) Дано выражение $216 - y^3$.
Это разность кубов. Представим $216$ как куб числа: $216 = 6^3$.
Выражение принимает вид $6^3 - y^3$. Здесь $a = 6$, $b = y$.
Применяем формулу разности кубов:
$6^3 - y^3 = (6 - y)(6^2 + 6 \cdot y + y^2) = (6 - y)(36 + 6y + y^2)$.
Ответ: $(6 - y)(36 + 6y + y^2)$.

4) Дано выражение $\frac{1}{8}a^3 + b^3$.
Это сумма кубов. Представим первый член как куб выражения: $\frac{1}{8}a^3 = (\frac{1}{2})^3 a^3 = (\frac{1}{2}a)^3$.
Выражение принимает вид $(\frac{1}{2}a)^3 + b^3$. Здесь $a$ в формуле — это $\frac{1}{2}a$, а $b$ в формуле — это $b$.
Применяем формулу суммы кубов:
$(\frac{1}{2}a)^3 + b^3 = (\frac{1}{2}a + b)((\frac{1}{2}a)^2 - \frac{1}{2}a \cdot b + b^2) = (\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.

5) Дано выражение $0,001m^3 + 8m^3$.
Хотя можно сложить подобные слагаемые, в контексте темы "формулы сокращенного умножения" предполагается иной подход. Представим каждый член в виде куба.
$0,001m^3 = (0,1m)^3$
$8m^3 = (2m)^3$
Теперь это сумма кубов: $(0,1m)^3 + (2m)^3$. Здесь $a = 0,1m$, $b = 2m$.
Применяем формулу суммы кубов:
$(0,1m + 2m)((0,1m)^2 - (0,1m)(2m) + (2m)^2)$
Упростим выражение в каждой скобке:
Первая скобка: $0,1m + 2m = 2,1m$.
Вторая скобка: $(0,1m)^2 - (0,1m)(2m) + (2m)^2 = 0,01m^2 - 0,2m^2 + 4m^2$.
Сложим подобные слагаемые во второй скобке: $0,01m^2 - 0,2m^2 + 4m^2 = (0,01 - 0,2 + 4)m^2 = 3,81m^2$.
Итоговое разложение: $(2,1m)(3,81m^2)$.
Ответ: $(2,1m)(0,01m^2 - 0,2m^2 + 4m^2)$ или, после упрощения, $(2,1m)(3,81m^2)$.

6) Дано выражение $a^3b^3 - c^3$.
Это разность кубов. Представим первый член как куб выражения: $a^3b^3 = (ab)^3$.
Выражение принимает вид $(ab)^3 - c^3$. Здесь $a$ в формуле — это $ab$, а $b$ в формуле — это $c$.
Применяем формулу разности кубов:
$(ab)^3 - c^3 = (ab - c)((ab)^2 + (ab) \cdot c + c^2) = (ab - c)(a^2b^2 + abc + c^2)$.
Ответ: $(ab - c)(a^2b^2 + abc + c^2)$.

808. Какое из данных равенств является тождеством:

1) $m^3 + 8n^6 = (m + 2n^2)(m^2 + 2mn^2 + 4n^4);$

2) $m^3 + 8n^6 = (m - 2n^2)(m^2 + 2mn^2 + 4n^4);$

3) $m^3 + 8n^6 = (m + 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4);$

4) $m^3 + 8n^6 = (m - 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)?$

Для того чтобы определить, какое из данных равенств является тождеством, необходимо разложить на множители левую часть выражения $m^3 + 8n^6$. Данное выражение представляет собой сумму кубов.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждый член выражения $m^3 + 8n^6$ в виде куба, чтобы определить значения $a$ и $b$ для формулы.

Первый член: $a^3 = m^3$, из чего следует, что $a = m$.

Второй член: $b^3 = 8n^6$. Так как $8 = 2^3$ и $n^6 = (n^2)^3$, то $8n^6 = (2n^2)^3$. Следовательно, $b = 2n^2$.

Теперь подставим $a = m$ и $b = 2n^2$ в формулу суммы кубов:

$m^3 + (2n^2)^3 = (m + 2n^2)(m^2 - m \cdot (2n^2) + (2n^2)^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(m + 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)$

Теперь мы можем сравнить полученное разложение с каждым из предложенных вариантов.

1) $m^3 + 8n^6 = (m + 2n^2)(m^2 + 2mn^2 + 4n^4)$;

Это равенство неверное. Согласно формуле суммы кубов, средний член во второй скобке (неполный квадрат разности) должен быть со знаком минус ($-ab$), а в данном варианте он со знаком плюс. Правая часть этого равенства равна $m^3 + 4m^2n^2 + 8mn^4 + 8n^6$.

2) $m^3 + 8n^6 = (m - 2n^2)(m^2 + 2mn^2 + 4n^4)$;

Это равенство неверное. Правая часть соответствует формуле разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$. При подстановке наших $a$ и $b$ она раскладывается в $m^3 - (2n^2)^3 = m^3 - 8n^6$, что не совпадает с левой частью.

3) $m^3 + 8n^6 = (m + 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)$;

Это равенство верное. Оно в точности соответствует результату разложения $m^3 + 8n^6$ по формуле суммы кубов, который мы получили: $(m + 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)$.

4) $m^3 + 8n^6 = (m - 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)?$

Это равенство неверное. Знаки в обеих скобках не соответствуют ни формуле суммы кубов, ни формуле разности кубов. При раскрытии скобок получится выражение $m^3 - 4m^2n^2 + 8mn^4 - 8n^6$.

Ответ: 3

809. Завершите разложение на множители:

1) $64x^6 - 0,027y^9 = (4x^2)^3 - (0,3y^3)^3 = ... ;$

2) $b^{12} + 216c^{15} = (b^4)^3 + (6c^5)^3 = ... ;$

3) $\frac{1}{8}p^{18} - \frac{1}{27}b^{21} = \left(\frac{1}{2}p^6\right)^3 - \left(\frac{1}{3}b^7\right)^3 = ... .$

1) Для завершения разложения выражения $64x^6 - 0,027y^9 = (4x^2)^3 - (0,3y^3)^3$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В данном случае, $a = 4x^2$ и $b = 0,3y^3$. Подставим эти значения в формулу:

$(4x^2 - 0,3y^3)((4x^2)^2 + (4x^2)(0,3y^3) + (0,3y^3)^2)$

Теперь упростим выражение во второй скобке, выполнив действия:

$(4x^2 - 0,3y^3)(16x^4 + 1,2x^2y^3 + 0,09y^6)$

Ответ: $(4x^2 - 0,3y^3)(16x^4 + 1,2x^2y^3 + 0,09y^6)$.

2) Для завершения разложения выражения $b^{12} + 216c^{15} = (b^4)^3 + (6c^5)^3$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a = b^4$ и $b = 6c^5$. Подставим эти значения в формулу:

$(b^4 + 6c^5)((b^4)^2 - (b^4)(6c^5) + (6c^5)^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(b^4 + 6c^5)(b^8 - 6b^4c^5 + 36c^{10})$

Ответ: $(b^4 + 6c^5)(b^8 - 6b^4c^5 + 36c^{10})$.

3) Для завершения разложения выражения $\frac{1}{8}p^{18} - \frac{1}{27}b^{21} = (\frac{1}{2}p^6)^3 - (\frac{1}{3}b^7)^3$ снова используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В этом примере $a = \frac{1}{2}p^6$ и $b = \frac{1}{3}b^7$. Подставим их в формулу:

$(\frac{1}{2}p^6 - \frac{1}{3}b^7)((\frac{1}{2}p^6)^2 + (\frac{1}{2}p^6)(\frac{1}{3}b^7) + (\frac{1}{3}b^7)^2)$

Упростим члены во второй скобке:

$(\frac{1}{2}p^6 - \frac{1}{3}b^7)(\frac{1}{4}p^{12} + \frac{1}{6}p^6b^7 + \frac{1}{9}b^{14})$

Ответ: $(\frac{1}{2}p^6 - \frac{1}{3}b^7)(\frac{1}{4}p^{12} + \frac{1}{6}p^6b^7 + \frac{1}{9}b^{14})$.

810. Разложите на множители:

1) $a^{12} + b^9$;

2) $x^{18} - y^{27}$;

3) $m^6n^3 - p^{12}$;

4) $a^{24}b^{33} + 1$;

5) $8m^6 + 27n^9$;

6) $0.027x^{21} + 0.125y^{24}$;

7) $0.216 - 8c^{27}$;

8) $1000a^{12}b^3 - 0.001c^6d^{15}$.

1) Чтобы разложить на множители выражение $a^{12} + b^9$, представим его как сумму кубов. Для этого воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим каждое слагаемое в виде куба:
$a^{12} = (a^4)^3$
$b^9 = (b^3)^3$
Таким образом, исходное выражение можно записать как $(a^4)^3 + (b^3)^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $A = a^4$ и $B = b^3$:
$a^{12} + b^9 = (a^4)^3 + (b^3)^3 = (a^4 + b^3)((a^4)^2 - a^4 \cdot b^3 + (b^3)^2) = (a^4 + b^3)(a^8 - a^4b^3 + b^6)$.
Ответ: $(a^4 + b^3)(a^8 - a^4b^3 + b^6)$.

2) Для разложения выражения $x^{18} - y^{27}$ на множители, представим его как разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим уменьшаемое и вычитаемое в виде кубов:
$x^{18} = (x^6)^3$
$y^{27} = (y^9)^3$
Исходное выражение принимает вид $(x^6)^3 - (y^9)^3$.
Применим формулу разности кубов, где $A = x^6$ и $B = y^9$:
$x^{18} - y^{27} = (x^6)^3 - (y^9)^3 = (x^6 - y^9)((x^6)^2 + x^6y^9 + (y^9)^2) = (x^6 - y^9)(x^{12} + x^6y^9 + y^{18})$.
Заметим, что множитель $(x^6 - y^9)$ также можно разложить на множители как разность кубов: $x^6 - y^9 = (x^2)^3 - (y^3)^3$.
$(x^2)^3 - (y^3)^3 = (x^2 - y^3)((x^2)^2 + x^2y^3 + (y^3)^2) = (x^2 - y^3)(x^4 + x^2y^3 + y^6)$.
Таким образом, окончательное разложение выглядит так:
$x^{18} - y^{27} = (x^2 - y^3)(x^4 + x^2y^3 + y^6)(x^{12} + x^6y^9 + y^{18})$.
Ответ: $(x^2 - y^3)(x^4 + x^2y^3 + y^6)(x^{12} + x^6y^9 + y^{18})$.

3) Разложим на множители выражение $m^6n^3 - p^{12}$. Представим его как разность кубов, используя формулу $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим каждое слагаемое в виде куба:
$m^6n^3 = (m^2)^3 \cdot n^3 = (m^2n)^3$
$p^{12} = (p^4)^3$
Выражение принимает вид $(m^2n)^3 - (p^4)^3$.
Подставим в формулу, где $A = m^2n$ и $B = p^4$:
$m^6n^3 - p^{12} = (m^2n)^3 - (p^4)^3 = (m^2n - p^4)((m^2n)^2 + (m^2n)(p^4) + (p^4)^2) = (m^2n - p^4)(m^4n^2 + m^2np^4 + p^8)$.
Ответ: $(m^2n - p^4)(m^4n^2 + m^2np^4 + p^8)$.

4) Разложим на множители выражение $a^{24}b^{33} + 1$. Представим его как сумму кубов, используя формулу $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим слагаемые в виде кубов:
$a^{24}b^{33} = a^{3 \cdot 8}b^{3 \cdot 11} = (a^8b^{11})^3$
$1 = 1^3$
Выражение принимает вид $(a^8b^{11})^3 + 1^3$.
Подставим в формулу, где $A = a^8b^{11}$ и $B = 1$:
$a^{24}b^{33} + 1 = (a^8b^{11})^3 + 1^3 = (a^8b^{11} + 1)((a^8b^{11})^2 - (a^8b^{11})(1) + 1^2) = (a^8b^{11} + 1)(a^{16}b^{22} - a^8b^{11} + 1)$.
Ответ: $(a^8b^{11} + 1)(a^{16}b^{22} - a^8b^{11} + 1)$.

5) Разложим на множители выражение $8m^6 + 27n^9$. Представим его как сумму кубов, используя формулу $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим слагаемые в виде кубов:
$8m^6 = 2^3 \cdot (m^2)^3 = (2m^2)^3$
$27n^9 = 3^3 \cdot (n^3)^3 = (3n^3)^3$
Выражение принимает вид $(2m^2)^3 + (3n^3)^3$.
Подставим в формулу, где $A = 2m^2$ и $B = 3n^3$:
$8m^6 + 27n^9 = (2m^2)^3 + (3n^3)^3 = (2m^2 + 3n^3)((2m^2)^2 - (2m^2)(3n^3) + (3n^3)^2) = (2m^2 + 3n^3)(4m^4 - 6m^2n^3 + 9n^6)$.
Ответ: $(2m^2 + 3n^3)(4m^4 - 6m^2n^3 + 9n^6)$.

6) Разложим на множители выражение $0.027x^{21} + 0.125y^{24}$. Представим его как сумму кубов, используя формулу $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим слагаемые в виде кубов:
$0.027x^{21} = (0.3)^3 \cdot (x^7)^3 = (0.3x^7)^3$
$0.125y^{24} = (0.5)^3 \cdot (y^8)^3 = (0.5y^8)^3$
Выражение принимает вид $(0.3x^7)^3 + (0.5y^8)^3$.
Подставим в формулу, где $A = 0.3x^7$ и $B = 0.5y^8$:
$0.027x^{21} + 0.125y^{24} = (0.3x^7 + 0.5y^8)((0.3x^7)^2 - (0.3x^7)(0.5y^8) + (0.5y^8)^2) = (0.3x^7 + 0.5y^8)(0.09x^{14} - 0.15x^7y^8 + 0.25y^{16})$.
Ответ: $(0.3x^7 + 0.5y^8)(0.09x^{14} - 0.15x^7y^8 + 0.25y^{16})$.

7) Разложим на множители выражение $0.216 - 8c^{27}$. Представим его как разность кубов, используя формулу $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим уменьшаемое и вычитаемое в виде кубов:
$0.216 = (0.6)^3$
$8c^{27} = 2^3 \cdot (c^9)^3 = (2c^9)^3$
Выражение принимает вид $(0.6)^3 - (2c^9)^3$.
Подставим в формулу, где $A = 0.6$ и $B = 2c^9$:
$0.216 - 8c^{27} = (0.6 - 2c^9)((0.6)^2 + (0.6)(2c^9) + (2c^9)^2) = (0.6 - 2c^9)(0.36 + 1.2c^9 + 4c^{18})$.
Ответ: $(0.6 - 2c^9)(0.36 + 1.2c^9 + 4c^{18})$.

8) Разложим на множители выражение $1000a^{12}b^3 - 0.001c^6d^{15}$. Представим его как разность кубов, используя формулу $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим уменьшаемое и вычитаемое в виде кубов:
$1000a^{12}b^3 = 10^3 \cdot (a^4)^3 \cdot b^3 = (10a^4b)^3$
$0.001c^6d^{15} = (0.1)^3 \cdot (c^2)^3 \cdot (d^5)^3 = (0.1c^2d^5)^3$
Выражение принимает вид $(10a^4b)^3 - (0.1c^2d^5)^3$.
Подставим в формулу, где $A = 10a^4b$ и $B = 0.1c^2d^5$:
$1000a^{12}b^3 - 0.001c^6d^{15} = (10a^4b - 0.1c^2d^5)((10a^4b)^2 + (10a^4b)(0.1c^2d^5) + (0.1c^2d^5)^2) = (10a^4b - 0.1c^2d^5)(100a^8b^2 + a^4bc^2d^5 + 0.01c^4d^{10})$.
Ответ: $(10a^4b - 0.1c^2d^5)(100a^8b^2 + a^4bc^2d^5 + 0.01c^4d^{10})$.

811. Разложите на множители:

1) $a^6 - 8$;

2) $m^{12} + 27$;

3) $a^3 - b^{15}c^{18}$;

4) $1 - a^{21}b^9$;

5) $125c^3d^3 + 0,008b^3$;

6) $\frac{64}{729}x^3 - \frac{27}{1000}y^6$.

1) $a^6 - 8$;
Представим данное выражение в виде разности кубов. Для этого воспользуемся свойством степеней $(x^m)^n = x^{mn}$.
$a^6$ можно записать как $(a^2)^3$.
Число 8 можно записать как $2^3$.
Таким образом, выражение принимает вид: $(a^2)^3 - 2^3$.
Применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
В нашем случае $A = a^2$ и $B = 2$.
Подставляем в формулу: $(a^2 - 2)((a^2)^2 + a^2 \cdot 2 + 2^2) = (a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$.
Ответ: $(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$.

2) $m^{12} + 27$;
Представим данное выражение в виде суммы кубов.
$m^{12}$ можно записать как $(m^4)^3$.
Число 27 можно записать как $3^3$.
Таким образом, выражение принимает вид: $(m^4)^3 + 3^3$.
Применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
В нашем случае $A = m^4$ и $B = 3$.
Подставляем в формулу: $(m^4 + 3)((m^4)^2 - m^4 \cdot 3 + 3^2) = (m^4 + 3)(m^8 - 3m^4 + 9)$.
Ответ: $(m^4 + 3)(m^8 - 3m^4 + 9)$.

3) $a^3 - b^{15}c^{18}$;
Представим это выражение как разность кубов.
$a^3$ уже является кубом.
$b^{15}c^{18}$ можно представить как $(b^5c^6)^3$, так как $(b^5)^3=b^{15}$ и $(c^6)^3=c^{18}$.
Выражение принимает вид: $a^3 - (b^5c^6)^3$.
Применим формулу разности кубов, где $A = a$ и $B = b^5c^6$.
$(a - b^5c^6)(a^2 + a(b^5c^6) + (b^5c^6)^2) = (a - b^5c^6)(a^2 + ab^5c^6 + b^{10}c^{12})$.
Ответ: $(a - b^5c^6)(a^2 + ab^5c^6 + b^{10}c^{12})$.

4) $1 - a^{21}b^9$;
Представим это выражение как разность кубов.
$1$ можно записать как $1^3$.
$a^{21}b^9$ можно представить как $(a^7b^3)^3$, так как $(a^7)^3=a^{21}$ и $(b^3)^3=b^9$.
Выражение принимает вид: $1^3 - (a^7b^3)^3$.
Применим формулу разности кубов, где $A = 1$ и $B = a^7b^3$.
$(1 - a^7b^3)(1^2 + 1 \cdot a^7b^3 + (a^7b^3)^2) = (1 - a^7b^3)(1 + a^7b^3 + a^{14}b^6)$.
Ответ: $(1 - a^7b^3)(1 + a^7b^3 + a^{14}b^6)$.

5) $125c^3d^3 + 0,008b^3$;
Представим выражение как сумму кубов.
$125c^3d^3$ можно записать как $(5cd)^3$.
$0,008b^3$ можно записать как $(0,2b)^3$, так как $0,2^3 = 0,008$.
Выражение принимает вид: $(5cd)^3 + (0,2b)^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $A = 5cd$ и $B = 0,2b$.
$(5cd + 0,2b)((5cd)^2 - (5cd)(0,2b) + (0,2b)^2) = (5cd + 0,2b)(25c^2d^2 - cdb + 0,04b^2)$.
Ответ: $(5cd + 0,2b)(25c^2d^2 - cdb + 0,04b^2)$.

6) $\frac{64}{729}x^3 - \frac{27}{1000}y^6$.
Представим выражение как разность кубов.
Первый член: $\frac{64}{729}x^3 = (\frac{4}{9}x)^3$, так как $4^3 = 64$ и $9^3 = 729$.
Второй член: $\frac{27}{1000}y^6 = (\frac{3}{10}y^2)^3$, так как $3^3 = 27$, $10^3 = 1000$ и $(y^2)^3 = y^6$.
Выражение принимает вид: $(\frac{4}{9}x)^3 - (\frac{3}{10}y^2)^3$.
Применим формулу разности кубов, где $A = \frac{4}{9}x$ и $B = \frac{3}{10}y^2$.
$(\frac{4}{9}x - \frac{3}{10}y^2)((\frac{4}{9}x)^2 + (\frac{4}{9}x)(\frac{3}{10}y^2) + (\frac{3}{10}y^2)^2)$.
Упростим второй множитель:
$(\frac{4}{9}x)^2 = \frac{16}{81}x^2$
$(\frac{4}{9}x)(\frac{3}{10}y^2) = \frac{12}{90}xy^2$, сократив на 6, получим $\frac{2}{15}xy^2$
$(\frac{3}{10}y^2)^2 = \frac{9}{100}y^4$
Таким образом, разложение на множители имеет вид:
$(\frac{4}{9}x - \frac{3}{10}y^2)(\frac{16}{81}x^2 + \frac{2}{15}xy^2 + \frac{9}{100}y^4)$.
Ответ: $(\frac{4}{9}x - \frac{3}{10}y^2)(\frac{16}{81}x^2 + \frac{2}{15}xy^2 + \frac{9}{100}y^4)$.

812. Найдите, используя формулу суммы кубов или формулу разности кубов, значение выражения:

1) $\frac{9^3 + 7^3}{32}$;

2) $\frac{16^3 - 10^3}{24}$.

1) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{9^3 + 7^3}{32}$, необходимо использовать формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В данном выражении $a = 9$, а $b = 7$.
Применим эту формулу к числителю дроби:
$9^3 + 7^3 = (9 + 7)(9^2 - 9 \cdot 7 + 7^2)$.
Вычислим значение каждого сомножителя:
Первый сомножитель: $9 + 7 = 16$.
Второй сомножитель: $9^2 - 9 \cdot 7 + 7^2 = 81 - 63 + 49 = 18 + 49 = 67$.
Таким образом, числитель равен $16 \cdot 67$.
Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение и упростим его:
$\frac{16 \cdot 67}{32} = \frac{67}{2} = 33,5$.
Ответ: $33,5$.

2) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{16^3 - 10^3}{24}$, необходимо использовать формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В данном выражении $a = 16$, а $b = 10$.
Применим эту формулу к числителю дроби:
$16^3 - 10^3 = (16 - 10)(16^2 + 16 \cdot 10 + 10^2)$.
Вычислим значение каждого сомножителя:
Первый сомножитель: $16 - 10 = 6$.
Второй сомножитель: $16^2 + 16 \cdot 10 + 10^2 = 256 + 160 + 100 = 516$.
Таким образом, числитель равен $6 \cdot 516$.
Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение и упростим его:
$\frac{6 \cdot 516}{24} = \frac{516}{4} = 129$.
Ответ: $129$.

813. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(x-2)(x^2+2x+4);$

2) $(2a-1)(4a^2+2a+1);$

3) $(a^2+1)(a^4-a^2+1);$

4) $(0,5xy+2)(0,25x^2y^2-xy+4).$

1) Чтобы представить выражение $(x-2)(x^2+2x+4)$ в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
В данном случае $a = x$ и $b = 2$. Проверим, соответствует ли вторая скобка формуле: $a^2+ab+b^2 = x^2 + x \cdot 2 + 2^2 = x^2+2x+4$. Выражение полностью соответствует формуле.
Следовательно, $(x-2)(x^2+2x+4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.
Ответ: $x^3 - 8$.

2) Для выражения $(2a-1)(4a^2+2a+1)$ также применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Здесь $a = 2a$ и $b = 1$. Проверим вторую скобку: $a^2+ab+b^2 = (2a)^2 + (2a) \cdot 1 + 1^2 = 4a^2+2a+1$. Выражение соответствует формуле.
Таким образом, $(2a-1)(4a^2+2a+1) = (2a)^3 - 1^3 = 8a^3 - 1$.
Ответ: $8a^3 - 1$.

3) В выражении $(a^2+1)(a^4-a^2+1)$ используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
В этом случае $a = a^2$ и $b = 1$. Проверим соответствие второй скобки: $a^2-ab+b^2 = (a^2)^2 - a^2 \cdot 1 + 1^2 = a^4-a^2+1$. Выражение полностью соответствует формуле.
Следовательно, $(a^2+1)(a^4-a^2+1) = (a^2)^3 + 1^3 = a^6 + 1$.
Ответ: $a^6 + 1$.

4) Для выражения $(0,5xy+2)(0,25x^2y^2-xy+4)$ применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Здесь $a = 0,5xy$ и $b = 2$. Проверим вторую скобку: $a^2-ab+b^2 = (0,5xy)^2 - (0,5xy) \cdot 2 + 2^2 = 0,25x^2y^2 - xy + 4$. Выражение соответствует формуле.
Таким образом, $(0,5xy+2)(0,25x^2y^2-xy+4) = (0,5xy)^3 + 2^3 = 0,125x^3y^3 + 8$.
Ответ: $0,125x^3y^3 + 8$.