Страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

781. Докажите, что выражение $(a - 3b)(a - 3b - 4) + 4$ принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.

Доказательство:

Чтобы доказать, что выражение $(a - 3b)(a - 3b - 4) + 4$ принимает неотрицательные значения, преобразуем его. Для упрощения введем замену переменной. Пусть $t = a - 3b$. Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$t(t - 4) + 4$

Теперь раскроем скобки в полученном выражении:

$t \cdot t - t \cdot 4 + 4 = t^2 - 4t + 4$

Полученный трехчлен $t^2 - 4t + 4$ представляет собой формулу сокращенного умножения, а именно квадрат разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Свернем выражение по этой формуле:

$t^2 - 2 \cdot t \cdot 2 + 2^2 = (t - 2)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ его первоначальное значение $a - 3b$:

$(t - 2)^2 = (a - 3b - 2)^2$

Таким образом, исходное выражение $(a - 3b)(a - 3b - 4) + 4$ тождественно равно выражению $(a - 3b - 2)^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть большим или равным нулю. Поскольку переменные $a$ и $b$ могут принимать любые значения, выражение в скобках $(a - 3b - 2)$ будет действительным числом. Следовательно, его квадрат $(a - 3b - 2)^2$ всегда будет принимать неотрицательное значение:

$(a - 3b - 2)^2 \ge 0$

Это доказывает, что исходное выражение принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных $a$ и $b$.

Ответ: Исходное выражение можно преобразовать к виду $(a - 3b - 2)^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, данное выражение всегда будет больше или равно нулю при любых значениях переменных $a$ и $b$.

782. Разложите на множители многочлен, предварительно представив его в виде разности квадратов двух выражений:

1) $a^4 + a^2 + 1;$

2) $x^2 - y^2 + 4x - 4y;$

3) $a^2b^2 + 2ab - c^2 - 8c - 15;$

4) $8a^2 - 12a + 2ab - b^2 + 4.$

1) $a^4 + a^2 + 1$
Чтобы представить данный многочлен в виде разности квадратов, дополним его до полного квадрата суммы. Формула полного квадрата: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
В нашем выражении $a^4 = (a^2)^2$ и $1 = 1^2$. Для полного квадрата $(a^2+1)^2$ нам нужен член $2 \cdot a^2 \cdot 1 = 2a^2$. У нас есть только $a^2$.
Добавим и вычтем $a^2$, чтобы выделить полный квадрат:
$a^4 + a^2 + 1 = a^4 + 2a^2 + 1 - a^2$
Теперь сгруппируем первые три слагаемых:
$(a^4 + 2a^2 + 1) - a^2 = (a^2+1)^2 - a^2$
Мы получили разность квадратов двух выражений: $(a^2+1)$ и $a$. Применим формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$:
$(a^2+1)^2 - a^2 = ((a^2+1) - a)((a^2+1) + a)$
Запишем многочлены в стандартном виде:
$(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)$
Ответ: $(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)$.

2) $x^2 - y^2 + 4x - 4y$
Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и попробуем выделить полные квадраты.
$x^2 - y^2 + 4x - 4y = (x^2 + 4x) - (y^2 + 4y)$
Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого добавим и вычтем 4 в каждой группе (поскольку $(x+2)^2=x^2+4x+4$ и $(y+2)^2=y^2+4y+4$):
$(x^2 + 4x + 4 - 4) - (y^2 + 4y + 4 - 4)$
Сгруппируем полные квадраты:
$((x^2 + 4x + 4) - 4) - ((y^2 + 4y + 4) - 4) = ((x+2)^2 - 4) - ((y+2)^2 - 4)$
Раскроем скобки:
$(x+2)^2 - 4 - (y+2)^2 + 4 = (x+2)^2 - (y+2)^2$
Мы получили разность квадратов двух выражений: $(x+2)$ и $(y+2)$. Применим формулу $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$:
$((x+2) - (y+2))((x+2) + (y+2))$
Упростим выражения в скобках:
$(x+2-y-2)(x+2+y+2) = (x-y)(x+y+4)$
Ответ: $(x-y)(x+y+4)$.

3) $a^2b^2 + 2ab - c^2 - 8c - 15$
Сгруппируем слагаемые, содержащие $ab$, и слагаемые, содержащие $c$:
$(a^2b^2 + 2ab) - (c^2 + 8c + 15)$
Дополним каждую группу до полного квадрата. Для первой группы $(ab+1)^2 = a^2b^2 + 2ab + 1$. Для второй группы $(c+4)^2 = c^2 + 8c + 16$.
Представим исходный многочлен так, чтобы можно было выделить эти квадраты. Для этого представим $-15$ как $1-16$:
$a^2b^2 + 2ab - c^2 - 8c + 1 - 16$
Перегруппируем слагаемые:
$(a^2b^2 + 2ab + 1) - (c^2 + 8c + 16)$
Теперь мы можем записать это как разность квадратов:
$(ab+1)^2 - (c+4)^2$
Применим формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$, где $X=ab+1$ и $Y=c+4$:
$((ab+1) - (c+4))((ab+1) + (c+4))$
Упростим выражения в скобках:
$(ab+1-c-4)(ab+1+c+4) = (ab-c-3)(ab+c+5)$
Ответ: $(ab-c-3)(ab+c+5)$.

4) $8a^2 - 12a + 2ab - b^2 + 4$
Этот многочлен сложнее, и для выделения разности квадратов нужно применить нестандартный подход. Представим член $8a^2$ в виде разности $9a^2 - a^2$.
$9a^2 - a^2 - 12a + 2ab - b^2 + 4$
Теперь сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы получить два полных квадрата:
$(9a^2 - 12a + 4) + (-a^2 + 2ab - b^2)$
Вынесем минус из второй скобки:
$(9a^2 - 12a + 4) - (a^2 - 2ab + b^2)$
Оба выражения в скобках являются полными квадратами:
$9a^2 - 12a + 4 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 2 + 2^2 = (3a-2)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
Таким образом, исходное выражение равно:
$(3a-2)^2 - (a-b)^2$
Мы получили разность квадратов. Применим формулу $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$, где $X=3a-2$ и $Y=a-b$:
$((3a-2) - (a-b))((3a-2) + (a-b))$
Упростим выражения в скобках:
$(3a-2-a+b)(3a-2+a-b) = (2a+b-2)(4a-b-2)$
Ответ: $(2a+b-2)(4a-b-2)$.

783. Представьте многочлен в виде суммы или разности квадратов двух выражений:

1) $a^4 + 17a^2 + 16;$

2) $x^2 + y^2 - 10x + 14y + 74;$

3) $2x^2 - 6xy + 9y^2 - 6x + 9;$

4) $x^2 - y^2 - 4x - 2y + 3.$

1) Для того чтобы представить многочлен $a^4 + 17a^2 + 16$ в виде суммы или разности квадратов, применим метод выделения полного квадрата. Заметим, что $a^4 = (a^2)^2$ и $16 = 4^2$. Это наводит на мысль об использовании формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

Попробуем сформировать квадрат выражения $(a^2+4)$: $(a^2+4)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2 = a^4 + 8a^2 + 16$.

В исходном многочлене у нас член $17a^2$. Мы можем представить его в виде суммы $17a^2 = 8a^2 + 9a^2$. Подставим это в исходное выражение:

$a^4 + 17a^2 + 16 = a^4 + (8a^2 + 9a^2) + 16$

Перегруппируем слагаемые:

$(a^4 + 8a^2 + 16) + 9a^2$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(a^2+4)^2$. Оставшееся слагаемое $9a^2$ также является полным квадратом: $9a^2 = (3a)^2$.Таким образом, мы получаем сумму двух квадратов:

$(a^2+4)^2 + (3a)^2$

Ответ: $(a^2+4)^2 + (3a)^2$.

2) Рассмотрим многочлен $x^2 + y^2 - 10x + 14y + 74$. Для его преобразования сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$, после чего выделим полный квадрат для каждой переменной.

$(x^2 - 10x) + (y^2 + 14y) + 74$

Выделим полный квадрат для выражения с $x$. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.$x^2 - 10x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить $5^2 = 25$.$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.

Выделим полный квадрат для выражения с $y$. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.$y^2 + 14y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 7$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить $7^2 = 49$.$y^2 + 14y + 49 = (y+7)^2$.

Теперь преобразуем исходный многочлен, прибавляя и вычитая 25 и 49, чтобы не изменить его значение:

$x^2 - 10x + 14y + y^2 + 74 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + (y^2 + 14y + 49) - 49 + 74$

Заменим выражения в скобках на квадраты и вычислим сумму оставшихся чисел:

$(x-5)^2 + (y+7)^2 - 25 - 49 + 74 = (x-5)^2 + (y+7)^2 - 74 + 74 = (x-5)^2 + (y+7)^2$

Ответ: $(x-5)^2 + (y+7)^2$.

3) Для многочлена $2x^2 - 6xy + 9y^2 - 6x + 9$ попробуем найти комбинацию полных квадратов. Заметим, что коэффициент при $x^2$ не является полным квадратом, что подсказывает разбить этот член на два слагаемых: $2x^2 = x^2 + x^2$.

Перепишем и перегруппируем выражение:

$x^2 + x^2 - 6xy + 9y^2 - 6x + 9 = (x^2 - 6xy + 9y^2) + (x^2 - 6x + 9)$

Теперь рассмотрим каждую из групп в скобках:

Первая группа $x^2 - 6xy + 9y^2$ является полным квадратом разности, так как $x^2 - 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x-3y)^2$.

Вторая группа $x^2 - 6x + 9$ также является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

Таким образом, исходный многочлен равен сумме двух квадратов:

$(x-3y)^2 + (x-3)^2$

Ответ: $(x-3y)^2 + (x-3)^2$.

4) Рассмотрим многочлен $x^2 - y^2 - 4x - 2y + 3$. Сгруппируем слагаемые по переменным, чтобы выделить полные квадраты.

$(x^2 - 4x) - (y^2 + 2y) + 3$

Обратите внимание, что мы вынесли знак минус перед второй скобкой, поэтому знак у $2y$ изменился на плюс.

Выделим полный квадрат для группы с $x$:$x^2 - 4x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2$. Нужно добавить $2^2=4$.$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Выделим полный квадрат для группы с $y$:$y^2 + 2y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1$. Нужно добавить $1^2=1$.$y^2 + 2y + 1 = (y+1)^2$.

Преобразуем исходное выражение. Для этого добавим и вычтем 4 для группы с $x$, а также добавим и вычтем 1 внутри скобок для группы с $y$:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 - (y^2 + 2y + 1) + 1 + 3$

Здесь важно правильно учесть вычитание. Более точная запись:

$((x^2 - 4x + 4) - 4) - ((y^2 + 2y + 1) - 1) + 3$

Раскроем внутренние скобки:

$(x-2)^2 - 4 - (y+1)^2 + 1 + 3$

Теперь сгруппируем числовые слагаемые:

$(x-2)^2 - (y+1)^2 + (-4 + 1 + 3) = (x-2)^2 - (y+1)^2 + 0$

В результате получаем разность двух квадратов.

Ответ: $(x-2)^2 - (y+1)^2$.

784. При каких значениях x и y равно нулю значение многочлена:

1) $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 41;$

2) $x^2 + 37y^2 + 12xy - 2y + 1?$

1) Чтобы найти значения $x$ и $y$, при которых значение многочлена равно нулю, необходимо решить уравнение:
$x^2 + y^2 + 8x - 10y + 41 = 0$
Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и выделим полные квадраты.
$(x^2 + 8x) + (y^2 - 10y) + 41 = 0$
Чтобы получить полный квадрат для $x$, нам нужно выражение вида $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$. У нас есть $x^2 + 8x$, значит $2a=8$, $a=4$, и $a^2=16$.
Чтобы получить полный квадрат для $y$, нам нужно выражение вида $(y-b)^2 = y^2 - 2by + b^2$. У нас есть $y^2 - 10y$, значит $2b=10$, $b=5$, и $b^2=25$.
Заметим, что свободный член $41$ можно представить как сумму $16 + 25$.
Перепишем уравнение, подставляя $41 = 16 + 25$:
$(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 10y + 25) = 0$
Теперь свернем выражения в скобках в полные квадраты:
$(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 0$
Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x + 4 = 0 \\ y - 5 = 0 \end{cases} $
Из этой системы находим значения $x$ и $y$:
$x = -4$
$y = 5$
Ответ: $x = -4, y = 5$.

2) Приравняем значение многочлена к нулю:
$x^2 + 37y^2 + 12xy - 2y + 1 = 0$
Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Наличие слагаемого $12xy$ указывает на то, что нужно выделить полный квадрат, содержащий и $x$, и $y$. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Выражение $x^2 + 12xy$ является частью полного квадрата $(x+6y)^2 = x^2 + 12xy + 36y^2$.
Представим слагаемое $37y^2$ в виде суммы $36y^2 + y^2$. Тогда уравнение примет вид:
$(x^2 + 12xy + 36y^2) + y^2 - 2y + 1 = 0$
Первая группа слагаемых является полным квадратом $(x+6y)^2$. Вторая группа слагаемых, $y^2 - 2y + 1$, также является полным квадратом $(y-1)^2$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$(x + 6y)^2 + (y - 1)^2 = 0$
Сумма квадратов равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю. Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} y - 1 = 0 \\ x + 6y = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения находим $y$:
$y = 1$
Подставляем найденное значение $y$ во второе уравнение:
$x + 6(1) = 0$
$x + 6 = 0$
$x = -6$
Ответ: $x = -6, y = 1$.

785. Существуют ли такие значения x и y, при которых равно нулю значение многочлена:

1) $x^2 + 4y^2 + 2x - 4y + 2$;

2) $9x^2 + y^2 - 12x + 8y + 21?$;

1) Чтобы найти, существуют ли такие значения x и y, при которых значение многочлена равно нулю, необходимо приравнять многочлен к нулю и решить полученное уравнение:

$x^2 + 4y^2 + 2x - 4y + 2 = 0$

Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые с переменными x и y и выделим полные квадраты, используя формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Сгруппируем члены: $(x^2 + 2x) + (4y^2 - 4y) + 2 = 0$.

Выделим полный квадрат для выражения с x:

$x^2 + 2x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (x+1)^2 - 1$

Выделим полный квадрат для выражения с y:

$4y^2 - 4y = (2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (2y-1)^2 - 1$

Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$((x+1)^2 - 1) + ((2y-1)^2 - 1) + 2 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x+1)^2 + (2y-1)^2 - 1 - 1 + 2 = 0$

$(x+1)^2 + (2y-1)^2 = 0$

Выражения $(x+1)^2$ и $(2y-1)^2$ являются квадратами, поэтому их значения не могут быть отрицательными для любых действительных x и y. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю.

Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (x+1)^2 = 0 \\ (2y-1)^2 = 0 \end{cases}$

Решаем эту систему:

$x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$

$2y-1 = 0 \Rightarrow 2y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$

Мы нашли конкретные значения x и y, при которых многочлен обращается в ноль.

Ответ: да, существуют. Например, при $x = -1$ и $y = \frac{1}{2}$.

2) Аналогично первому пункту, приравняем второй многочлен к нулю:

$9x^2 + y^2 - 12x + 8y + 21 = 0$

Сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты:

$(9x^2 - 12x) + (y^2 + 8y) + 21 = 0$

Выделим полный квадрат для выражения с x:

$9x^2 - 12x = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 - 2^2 = (3x-2)^2 - 4$

Выделим полный квадрат для выражения с y:

$y^2 + 8y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 - 4^2 = (y+4)^2 - 16$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$((3x-2)^2 - 4) + ((y+4)^2 - 16) + 21 = 0$

Упростим выражение:

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 - 4 - 16 + 21 = 0$

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 - 20 + 21 = 0$

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 + 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 = -1$

Выражения $(3x-2)^2$ и $(y+4)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $(3x-2)^2 \geq 0$ и $(y+4)^2 \geq 0$.

Следовательно, их сумма также должна быть неотрицательной:

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 \geq 0$

Полученное уравнение $(3x-2)^2 + (y+4)^2 = -1$ не имеет решений в действительных числах, так как сумма двух неотрицательных чисел не может быть равна отрицательному числу -1.

Ответ: нет, не существуют.

786. Значения переменных $a$ и $b$ таковы, что $a + b = 7$, $ab = 2$. Найдите значение выражения $a^2 + b^2$.

Чтобы найти значение выражения $a^2 + b^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы двух чисел:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Из этой формулы мы можем выразить искомое выражение $a^2 + b^2$:

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

Теперь подставим в полученное выражение известные нам значения из условия задачи: $a + b = 7$ и $ab = 2$.

$a^2 + b^2 = (7)^2 - 2 \cdot (2)$

$a^2 + b^2 = 49 - 4$

$a^2 + b^2 = 45$

Ответ: $45$

787. Положительные значения переменных $a$ и $b$ таковы, что $a^2 + b^2 = 34$, $ab = 15$. Найдите значение выражения $a + b$.

Нам даны два равенства и одно условие:

1. $a^2 + b^2 = 34$
2. $ab = 15$
3. $a > 0$ и $b > 0$ (переменные имеют положительные значения)

Необходимо найти значение выражения $a + b$.

Для решения этой задачи удобно использовать формулу сокращенного умножения для квадрата суммы:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Мы можем перегруппировать члены в правой части формулы, чтобы использовать известные нам значения:

$(a + b)^2 = (a^2 + b^2) + 2(ab)$

Теперь подставим в это выражение данные из условия задачи: $a^2 + b^2 = 34$ и $ab = 15$.

$(a + b)^2 = 34 + 2 \cdot 15$

Выполним вычисления в правой части:

$(a + b)^2 = 34 + 30$

$(a + b)^2 = 64$

Чтобы найти значение $a + b$, нужно извлечь квадратный корень из 64.

$a + b = \pm\sqrt{64}$

$a + b = \pm8$

У нас получилось два возможных ответа: 8 и -8. Однако, по условию задачи переменные $a$ и $b$ являются положительными. Сумма двух положительных чисел всегда будет положительным числом, то есть $a + b > 0$.

Следовательно, из двух возможных вариантов мы должны выбрать положительный.

Ответ: 8

788. Отрицательные значения переменных $a$ и $b$ таковы, что $a^2 + b^2 = 68$, $ab = 16$. Найдите значение выражения $a + b$.

Для нахождения значения выражения $a+b$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Мы можем сгруппировать члены в этой формуле, чтобы использовать данные из условия задачи: $(a+b)^2 = (a^2+b^2) + 2ab$.

Подставим известные значения $a^2+b^2=68$ и $ab=16$ в полученное выражение:

$(a+b)^2 = 68 + 2 \cdot 16 = 68 + 32 = 100$.

Из уравнения $(a+b)^2=100$ следует, что выражение $a+b$ может быть равно $\sqrt{100}$ или $-\sqrt{100}$. Таким образом, возможные значения для $a+b$ это 10 и -10.

По условию задачи переменные $a$ и $b$ являются отрицательными, то есть $a < 0$ и $b < 0$. Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом, следовательно, $a+b < 0$.

Из двух найденных нами возможных значений для $a+b$ (10 и -10) мы должны выбрать отрицательное значение, удовлетворяющее условию $a+b < 0$.

Таким образом, значение выражения $a+b$ равно -10.

Ответ: -10

789. Представьте число 24 в виде суммы таких двух чисел, чтобы их произведение было наибольшим.

Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, их сумма равна 24:

$x + y = 24$

Нам необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы их произведение $P = x \cdot y$ было наибольшим.

Выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим $y$:

$y = 24 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения:

$P(x) = x \cdot (24 - x) = 24x - x^2$

Мы получили квадратичную функцию $P(x) = -x^2 + 24x$. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1). Следовательно, своего наибольшего значения эта функция достигает в вершине параболы.

Координата $x_0$ вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае $a = -1$ и $b = 24$. Найдем значение $x$, при котором произведение будет максимальным:

$x = -\frac{24}{2 \cdot (-1)} = -\frac{24}{-2} = 12$

Итак, первое число равно 12. Теперь найдем второе число:

$y = 24 - x = 24 - 12 = 12$

Таким образом, число 24 нужно представить в виде суммы двух чисел 12 и 12. Их произведение $12 \cdot 12 = 144$ будет наибольшим.

Ответ: $24 = 12 + 12$.

790. Найдите стороны прямоугольника, имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников, периметр каждого из которых равен 20 см.

Это задача на нахождение экстремума. Нам нужно найти прямоугольник с максимальной площадью при заданном периметре.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию задачи, периметр равен 20 см.

$2(a + b) = 20$

Разделив обе части уравнения на 2, получим сумму смежных сторон:

$a + b = 10$

Из этого соотношения мы можем выразить одну сторону через другую, например, $b$ через $a$:

$b = 10 - a$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Подставим в эту формулу выражение для $b$, чтобы получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $a$:

$S(a) = a \cdot (10 - a) = 10a - a^2$

Мы получили функцию площади $S(a)$. Нам нужно найти, при каком значении $a$ (в пределах от 0 до 10) эта функция принимает наибольшее значение.

Функция $S(a) = -a^2 + 10a$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицательный (равен -1). Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $y = kx^2 + mx + c$, можно найти по формуле $x_0 = -\frac{m}{2k}$.

В нашем случае $k = -1$ и $m = 10$. Найдем значение $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = -\frac{10}{-2} = 5$

Итак, одна из сторон прямоугольника, при которой площадь максимальна, равна 5 см. Теперь найдем вторую сторону:

$b = 10 - a = 10 - 5 = 5$

Таким образом, прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре является квадратом.

Ответ: стороны прямоугольника равны 5 см и 5 см.

791. Числа $a$ и $b$ таковы, что $b^2 + \frac{a^2}{4} = 1$, $ab=3$, $a > 0$, $b > 0$. Найдите значение выражения $a+2b$.

Нам даны два уравнения и условия на знаки чисел $a$ и $b$:

1) $b^2 + \frac{a^2}{4} = 1$

2) $ab = 3$

3) $a > 0, b > 0$

Требуется найти значение выражения $a + 2b$.

Рассмотрим квадрат искомого выражения. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$

Сгруппируем слагаемые в полученном выражении, чтобы использовать данные из условия:

$(a + 2b)^2 = (a^2 + 4b^2) + 4ab$

Теперь найдем значение каждой из частей этого выражения.

Из второго условия нам известно, что $ab = 3$. Следовательно, $4ab = 4 \cdot 3 = 12$.

Возьмем первое уравнение $b^2 + \frac{a^2}{4} = 1$ и умножим обе его части на 4, чтобы получить выражение $a^2 + 4b^2$:

$4 \cdot \left(b^2 + \frac{a^2}{4}\right) = 4 \cdot 1$

$4b^2 + 4\frac{a^2}{4} = 4$

$4b^2 + a^2 = 4$

Теперь подставим найденные значения в разложение квадрата суммы:

$(a + 2b)^2 = (a^2 + 4b^2) + 4ab = 4 + 12 = 16$

Из этого следует, что $a + 2b$ может быть равно $\sqrt{16}$ или $-\sqrt{16}$.

$a + 2b = 4$ или $a + 2b = -4$.

По условию задачи, $a > 0$ и $b > 0$. Это означает, что оба числа положительные. Сумма положительного числа $a$ и положительного числа $2b$ также должна быть положительной, то есть $a + 2b > 0$.

Исходя из этого, мы выбираем положительный корень.

$a + 2b = 4$.

Ответ: 4

792. Числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0$. Чему равно значение выражения $a + b - 2c$?

Нам дано уравнение, связывающее числа $a$, $b$ и $c$:

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0$

Для того чтобы проанализировать это уравнение, умножим обе его части на 2:

$2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) = 2 \cdot 0$

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0$

Теперь представим $2a^2$ как $a^2 + a^2$, $2b^2$ как $b^2 + b^2$ и $2c^2$ как $c^2 + c^2$. Перегруппируем слагаемые в левой части уравнения, чтобы выделить полные квадраты разностей:

$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) = 0$

Каждое выражение в скобках является формулой квадрата разности:

$(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 = 0$

Сумма квадратов трех действительных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Это происходит потому, что квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$).

Следовательно, должны выполняться следующие условия:

$a - b = 0 \implies a = b$

$a - c = 0 \implies a = c$

$b - c = 0 \implies b = c$

Из этих равенств следует, что все три числа равны между собой: $a = b = c$.

Теперь найдем значение выражения $a + b - 2c$.

Поскольку $a = c$ и $b = c$, мы можем подставить эти значения в искомое выражение:

$a + b - 2c = c + c - 2c = 2c - 2c = 0$

Ответ: 0

793. Расстояние от Солнца до Земли свет проходит за 8,3 мин. Найдите расстояние от Солнца до Земли, если скорость света составляет 300 000 км/с. Ответ округлите до десятков миллионов километров.

Для того чтобы найти расстояние от Солнца до Земли, необходимо использовать основную формулу для расчета расстояния при равномерном движении: $S = v \cdot t$, где $S$ — это расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Из условия задачи нам известны следующие величины:
Скорость света: $v = 300\ 000$ км/с.
Время в пути: $t = 8,3$ мин.

Поскольку скорость света дана в километрах в секунду, а время — в минутах, необходимо привести время к единой единице измерения — секундам. В одной минуте содержится 60 секунд.
$t = 8,3 \text{ мин} = 8,3 \cdot 60 \text{ с} = 498 \text{ с}$

Теперь мы можем рассчитать расстояние, подставив полученные значения в формулу:
$S = 300\ 000 \text{ км/с} \cdot 498 \text{ с} = 149\ 400\ 000 \text{ км}$

Согласно условию, полученный ответ необходимо округлить до десятков миллионов километров.
В числе $149\ 400\ 000$ цифра в разряде десятков миллионов — это 4. Следующая за ней цифра (в разряде единиц миллионов) — 9. Поскольку $9 \ge 5$, мы округляем в большую сторону, увеличивая цифру в разряде десятков миллионов на единицу. Таким образом, $14...$ превращается в $15...$.
$149\ 400\ 000 \text{ км} \approx 150\ 000\ 000 \text{ км}$

Ответ: 150 000 000 км.