Страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

747. При каких значениях переменных x и y выполняется равенство:

1) $(x+2)^2 + (y-6)^2 = -1;$

2) $(x+2)^2 + (y-6)^2 = 0?$

1) Рассмотрим равенство $(x+2)^2 + (y-6)^2 = -1$.

Левая часть уравнения представляет собой сумму квадратов двух выражений. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что:

$(x+2)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

$(y-6)^2 \ge 0$ для любого значения $y$.

Следовательно, их сумма также всегда будет неотрицательной:

$(x+2)^2 + (y-6)^2 \ge 0$.

Правая часть уравнения равна $-1$. Таким образом, мы получаем противоречие: неотрицательное число в левой части не может быть равно отрицательному числу в правой. Значит, не существует таких действительных значений $x$ и $y$, при которых данное равенство было бы верным.

Ответ: таких значений не существует.

2) Рассмотрим равенство $(x+2)^2 + (y-6)^2 = 0$.

Как было установлено в предыдущем пункте, оба слагаемых в левой части уравнения, $(x+2)^2$ и $(y-6)^2$, являются неотрицательными. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Поэтому данное равенство выполняется только при одновременном выполнении двух условий:

$(x+2)^2 = 0$ и $(y-6)^2 = 0$.

Решим первое уравнение:

$(x+2)^2 = 0$

$x+2 = 0$

$x = -2$

Решим второе уравнение:

$(y-6)^2 = 0$

$y-6 = 0$

$y = 6$

Таким образом, равенство выполняется только при $x = -2$ и $y = 6$.

Ответ: $x = -2$, $y = 6$.

748. Известно, что натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что значение выражения $10m + n$ делится нацело на 11. Докажите, что значение выражения $(10m + n)(10n + m)$ делится нацело на 121.

По условию задачи, выражение $10m + n$ делится нацело на 11. Используя язык сравнений по модулю, это можно записать следующим образом:

$10m + n \equiv 0 \pmod{11}$

Заметим, что число 10 сравнимо с -1 по модулю 11, то есть $10 \equiv -1 \pmod{11}$. Подставим это в наше сравнение:

$(-1)m + n \equiv 0 \pmod{11}$

$-m + n \equiv 0 \pmod{11}$

Из этого следует, что $n \equiv m \pmod{11}$. Это означает, что числа $m$ и $n$ имеют одинаковые остатки при делении на 11.

Теперь нам нужно доказать, что произведение $(10m + n)(10n + m)$ делится нацело на 121. Поскольку $121 = 11^2$, нам нужно показать, что оба множителя в этом произведении делятся на 11.

Про первый множитель, $10m + n$, нам это известно из условия. Проверим второй множитель, $10n + m$, на делимость на 11. Рассмотрим его также по модулю 11:

$10n + m \pmod{11}$

Снова заменим $10$ на $-1$:

$10n + m \equiv (-1)n + m \pmod{11}$

$10n + m \equiv m - n \pmod{11}$

Так как мы ранее установили, что $n \equiv m \pmod{11}$, то их разность $m - n$ сравнима с нулем по модулю 11:

$m - n \equiv 0 \pmod{11}$

Это доказывает, что выражение $10n + m$ также делится нацело на 11.

Таким образом, мы имеем произведение двух выражений, $(10m + n)$ и $(10n + m)$, каждое из которых делится на 11. Следовательно, их произведение должно делиться на $11 \cdot 11 = 121$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия делимости $10m+n$ на 11 следует, что $m \equiv n \pmod{11}$. Отсюда следует, что выражение $10n+m$ также делится на 11, так как $10n+m \equiv -n+m \equiv m-n \equiv 0 \pmod{11}$. Произведение двух чисел, каждое из которых делится на 11, делится на $11^2=121$.