Номер 748, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 748, страница 127.

Условие.

748. Известно, что натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что значение выражения $10m + n$ делится нацело на 11. Докажите, что значение выражения $(10m + n)(10n + m)$ делится нацело на 121.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По условию задачи, выражение $10m + n$ делится нацело на 11. Используя язык сравнений по модулю, это можно записать следующим образом:

$10m + n \equiv 0 \pmod{11}$

Заметим, что число 10 сравнимо с -1 по модулю 11, то есть $10 \equiv -1 \pmod{11}$. Подставим это в наше сравнение:

$(-1)m + n \equiv 0 \pmod{11}$

$-m + n \equiv 0 \pmod{11}$

Из этого следует, что $n \equiv m \pmod{11}$. Это означает, что числа $m$ и $n$ имеют одинаковые остатки при делении на 11.

Теперь нам нужно доказать, что произведение $(10m + n)(10n + m)$ делится нацело на 121. Поскольку $121 = 11^2$, нам нужно показать, что оба множителя в этом произведении делятся на 11.

Про первый множитель, $10m + n$, нам это известно из условия. Проверим второй множитель, $10n + m$, на делимость на 11. Рассмотрим его также по модулю 11:

$10n + m \pmod{11}$

Снова заменим $10$ на $-1$:

$10n + m \equiv (-1)n + m \pmod{11}$

$10n + m \equiv m - n \pmod{11}$

Так как мы ранее установили, что $n \equiv m \pmod{11}$, то их разность $m - n$ сравнима с нулем по модулю 11:

$m - n \equiv 0 \pmod{11}$

Это доказывает, что выражение $10n + m$ также делится нацело на 11.

Таким образом, мы имеем произведение двух выражений, $(10m + n)$ и $(10n + m)$, каждое из которых делится на 11. Следовательно, их произведение должно делиться на $11 \cdot 11 = 121$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия делимости $10m+n$ на 11 следует, что $m \equiv n \pmod{11}$. Отсюда следует, что выражение $10n+m$ также делится на 11, так как $10n+m \equiv -n+m \equiv m-n \equiv 0 \pmod{11}$. Произведение двух чисел, каждое из которых делится на 11, делится на $11^2=121$.