Номер 745, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 745, страница 126.

Условие.

745. Какое наибольшее значение и при каком значении переменной может принимать выражение:

1) $ -x^2; $

2) $ -x^2 + 4; $

3) $ 12 - (x-1)^2? $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для любого действительного числа $x$ его квадрат $x^2$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Если умножить обе части этого неравенства на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $-x^2 \le 0$. Это означает, что выражение $-x^2$ принимает только неположительные значения. Следовательно, его наибольшее значение равно 0. Это значение достигается тогда, когда $x^2 = 0$, то есть при $x=0$.
Ответ: наибольшее значение равно 0 при $x = 0$.

2) Рассмотрим выражение $-x^2 + 4$. Как мы установили в предыдущем пункте, выражение $-x^2$ имеет наибольшее значение 0 при $x=0$. Чтобы найти наибольшее значение выражения $-x^2 + 4$, нужно к наибольшему значению $-x^2$ прибавить 4. Таким образом, наибольшее значение всего выражения будет $0 + 4 = 4$. Оно достигается при том же значении переменной, то есть при $x=0$.
Иначе говоря, так как $x^2 \ge 0$, то $-x^2 \le 0$. Прибавляя 4 к обеим частям неравенства, получаем $-x^2 + 4 \le 4$. Наибольшее значение равно 4.
Ответ: наибольшее значение равно 4 при $x = 0$.

3) Рассмотрим выражение $12 - (x-1)^2$. Слагаемое $(x-1)^2$ является квадратом числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x-1)^2 \ge 0$. Чтобы значение всего выражения было наибольшим, нужно из 12 вычесть как можно меньшее число. Наименьшее возможное значение для $(x-1)^2$ равно 0. Это значение достигается, когда основание степени равно нулю, то есть $x-1=0$, откуда $x=1$. При $x=1$ значение выражения равно $12 - (1-1)^2 = 12 - 0^2 = 12$.
Ответ: наибольшее значение равно 12 при $x = 1$.