Номер 739, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 739, страница 126.

Условие.

739. (Тождество Ж. Л. Лагранжа¹) Докажите тождество:

$(a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) - (am + bn + ck)^2 = (an - bm)^2 + (ak - cm)^2 + (bk - cn)^2$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности и покажем, что в результате получаются одинаковые выражения.

Преобразование левой части тождества:

Левая часть: $(a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) - (am + bn + ck)^2$.

1. Раскроем произведение первых двух скобок:

$(a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) = a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2$.

2. Раскроем квадрат суммы:

$(am + bn + ck)^2 = (am)^2 + (bn)^2 + (ck)^2 + 2(am)(bn) + 2(am)(ck) + 2(bn)(ck) = a^2m^2 + b^2n^2 + c^2k^2 + 2abmn + 2ackm + 2bcnk$.

3. Вычтем второе выражение из первого:

$(a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2) - (a^2m^2 + b^2n^2 + c^2k^2 + 2abmn + 2ackm + 2bcnk)$.

4. Упростим выражение, сократив подобные члены ($a^2m^2$, $b^2n^2$, $c^2k^2$):

$a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 - 2abmn - 2ackm - 2bcnk$.

Преобразование правой части тождества:

Правая часть: $(an - bm)^2 + (ak - cm)^2 + (bk - cn)^2$.

1. Раскроем каждый квадрат разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(an - bm)^2 = a^2n^2 - 2abmn + b^2m^2$.

$(ak - cm)^2 = a^2k^2 - 2ackm + c^2m^2$.

$(bk - cn)^2 = b^2k^2 - 2bcnk + c^2n^2$.

2. Сложим полученные выражения:

$(a^2n^2 - 2abmn + b^2m^2) + (a^2k^2 - 2ackm + c^2m^2) + (b^2k^2 - 2bcnk + c^2n^2)$.

3. Сгруппируем члены, чтобы получить итоговое выражение:

$a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 - 2abmn - 2ackm - 2bcnk$.

Вывод:

Выражение, полученное после преобразования левой части, полностью совпадает с выражением, полученным после преобразования правой части. Следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.