Номер 737, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 737, страница 125.

Условие.

737. При каком значении $a$ уравнение $(2a - 3x)^2 + (x - 1)^2 = 10(x - 2)(x + 2)$ не имеет корней?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы найти значение параметра a, при котором уравнение не имеет корней, необходимо преобразовать данное уравнение, раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые.

Исходное уравнение:$(2a - 3x)^2 + (x - 1)^2 = 10(x - 2)(x + 2)$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(b - c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$ и разностью квадратов $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$. Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения.

Левая часть:$(2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3x + (3x)^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 12ax + 9x^2 + x^2 - 2x + 1$

Правая часть:$10(x^2 - 2^2) = 10(x^2 - 4) = 10x^2 - 40$

Теперь приравняем преобразованные части и соберем все слагаемые в левой части:

$4a^2 - 12ax + 9x^2 + x^2 - 2x + 1 = 10x^2 - 40$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(9x^2 + x^2 - 10x^2) + (-12ax - 2x) + (4a^2 + 1 + 40) = 0$

Упростим выражение:

$0 \cdot x^2 - (12a + 2)x + (4a^2 + 41) = 0$

В результате преобразований мы получили линейное уравнение вида $Bx + C = 0$, где коэффициент при x равен $B = -(12a + 2)$, а свободный член равен $C = 4a^2 + 41$.

Линейное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной x равен нулю, а свободный член отличен от нуля. То есть, должны выполняться следующие условия:

$B = 0$ и $C \neq 0$

Найдем значение a, при котором коэффициент $B$ обращается в ноль:

$-(12a + 2) = 0$
$12a + 2 = 0$
$12a = -2$
$a = -\frac{2}{12}$
$a = -\frac{1}{6}$

Теперь подставим найденное значение $a = -\frac{1}{6}$ в выражение для свободного члена $C$, чтобы убедиться, что он не равен нулю:

$C = 4a^2 + 41 = 4\left(-\frac{1}{6}\right)^2 + 41 = 4\left(\frac{1}{36}\right) + 41 = \frac{4}{36} + 41 = \frac{1}{9} + 41$
Поскольку $41\frac{1}{9} \neq 0$, условие выполняется.

Таким образом, при $a = -\frac{1}{6}$ исходное уравнение превращается в неверное равенство $0 \cdot x + 41\frac{1}{9} = 0$, которое не имеет решений.

Ответ: $a = -\frac{1}{6}$.