Номер 730, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 730, страница 125.

Условие.

730. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4, то квадрат этого числа делится нацело на 16.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n$ — натуральное число. Согласно условию задачи, остаток при делении числа $n$ на 16 равен 4. Используя теорему о делении с остатком, это означает, что число $n$ можно представить в виде: $n = 16k + 4$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Теперь необходимо найти квадрат этого числа, $n^2$, и доказать, что он делится на 16 нацело. Возведем в квадрат обе части равенства: $n^2 = (16k + 4)^2$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. $n^2 = (16k)^2 + 2 \cdot 16k \cdot 4 + 4^2$ $n^2 = 256k^2 + 128k + 16$

Чтобы доказать делимость выражения $256k^2 + 128k + 16$ на 16, вынесем общий множитель 16 за скобки. Каждое слагаемое в этой сумме кратно 16: $256k^2 = 16 \cdot (16k^2)$ $128k = 16 \cdot (8k)$ $16 = 16 \cdot 1$

Вынесем 16 за скобки: $n^2 = 16(16k^2 + 8k + 1)$

Поскольку $k$ является целым числом, то и выражение в скобках, $16k^2 + 8k + 1$, также является целым числом. Если мы обозначим это целое число буквой $m$, то есть $m = 16k^2 + 8k + 1$, то мы получаем, что $n^2 = 16m$. Это по определению означает, что $n^2$ делится на 16 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Если натуральное число $n$ при делении на 16 дает в остатке 4, его можно записать как $n = 16k + 4$ для некоторого целого неотрицательного $k$. Тогда его квадрат $n^2 = (16k + 4)^2 = 256k^2 + 128k + 16 = 16(16k^2 + 8k + 1)$. Поскольку $k$ — целое число, выражение $16k^2 + 8k + 1$ также является целым. Следовательно, $n^2$ является произведением 16 и целого числа, а значит, делится нацело на 16.