Номер 723, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 723, страница 124.

Условие.

723. Докажите, что значение выражения $(6x - 8)^2 + (8x + 6)^2 - (10x - 1) \times (10x + 1)$ не зависит от значения переменной $x$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, нам необходимо его упростить. Если в результате упрощения мы получим константу (число без переменной $x$), то утверждение будет доказано.

Запишем исходное выражение:

$(6x - 8)^2 + (8x + 6)^2 - (10x - 1)(10x + 1)$

Для упрощения воспользуемся формулами сокращенного умножения. Раскроем каждую часть выражения отдельно.

1. Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ к первому слагаемому:

$(6x - 8)^2 = (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 8 + 8^2 = 36x^2 - 96x + 64$.

2. Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ко второму слагаемому:

$(8x + 6)^2 = (8x)^2 + 2 \cdot 8x \cdot 6 + 6^2 = 64x^2 + 96x + 36$.

3. Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ к третьему члену:

$(10x - 1)(10x + 1) = (10x)^2 - 1^2 = 100x^2 - 1$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(36x^2 - 96x + 64) + (64x^2 + 96x + 36) - (100x^2 - 1)$

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед последней скобкой меняет знаки всех членов внутри нее на противоположные:

$36x^2 - 96x + 64 + 64x^2 + 96x + 36 - 100x^2 + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(36x^2 + 64x^2 - 100x^2) + (-96x + 96x) + (64 + 36 + 1)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(100x^2 - 100x^2) + 0 + 101 = 0 + 0 + 101 = 101$

В результате упрощения мы получили число 101. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $x$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от $x$.

Ответ: упрощенное выражение равно 101, что является постоянным значением, не зависящим от переменной $x$.