Номер 721, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 721, страница 124.

Условие.

721. Докажите тождество:

1) $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab;$

2) $(a-b)^2 + (ab+1)^2 = (a^2+1)(b^2+1).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его правую часть. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Правая часть: $(a - b)^2 + 2ab$.

Раскрываем квадрат разности:

$(a - b)^2 + 2ab = (a^2 - 2ab + b^2) + 2ab$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $-2ab$ и $2ab$ взаимно уничтожаются:

$a^2 - 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2$

В результате преобразования мы получили выражение, стоящее в левой части тождества: $a^2 + b^2$.

Так как $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства данного тождества преобразуем по отдельности левую и правую части и сравним полученные выражения.

Преобразуем левую часть: $(a - b)^2 + (ab + 1)^2$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a - b)^2 + (ab + 1)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + ((ab)^2 + 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2) = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2b^2 + 2ab + 1)$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2 + a^2b^2 + 2ab + 1 = a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1$

Преобразуем правую часть: $(a^2 + 1)(b^2 + 1)$.

Раскроем скобки, выполнив умножение многочленов:

$(a^2 + 1)(b^2 + 1) = a^2 \cdot b^2 + a^2 \cdot 1 + 1 \cdot b^2 + 1 \cdot 1 = a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1$

Сравнение:

Левая часть: $a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1$.

Правая часть: $a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1$.

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, левая и правая части равны. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.