Номер 726, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 726, страница 124.

Условие.

726. Докажите формулу куба разности двух выражений:

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(1-x)^3$;

2) $(x-5y)^3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства формулы куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ необходимо раскрыть скобки в левой части выражения.

Представим куб разности как произведение $(a-b)$ на квадрат разности $(a-b)^2$:

$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2$

Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получим:

$(a-b)^3 = (a-b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Теперь выполним умножение многочленов:

$(a-b)(a^2 - 2ab + b^2) = a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой, что и доказывает формулу.

Теперь, используя доказанную формулу, преобразуем выражения в многочлены.

1)

Для выражения $(1-x)^3$ применим формулу куба разности, где $a=1$ и $b=x$.

Подставим эти значения в формулу $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(1-x)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot x + 3 \cdot 1 \cdot x^2 - x^3$

Упростим полученное выражение:

$1 - 3x + 3x^2 - x^3$

Ответ: $1 - 3x + 3x^2 - x^3$.

2)

Для выражения $(x-5y)^3$ применим ту же формулу, где $a=x$ и $b=5y$.

Подставим значения в формулу:

$(x-5y)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot (5y) + 3 \cdot x \cdot (5y)^2 - (5y)^3$

Выполним вычисления и упростим:

$x^3 - 15x^2y + 3x(25y^2) - 125y^3 = x^3 - 15x^2y + 75xy^2 - 125y^3$

Ответ: $x^3 - 15x^2y + 75xy^2 - 125y^3$.