Страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

715. Найдите сторону квадрата, если при увеличении её на 5 см получится квадрат, площадь которого на 95 см² больше площади данного.

Пусть сторона исходного квадрата равна $x$ см. Тогда его площадь составляет $S_1 = x^2$ см².

После увеличения стороны на 5 см, новая сторона стала равна $(x + 5)$ см. Площадь нового, увеличенного квадрата составляет $S_2 = (x + 5)^2$ см².

По условию задачи, площадь нового квадрата на 95 см² больше площади исходного. Это можно выразить уравнением:

$S_2 - S_1 = 95$

Подставим в уравнение выражения для площадей:

$(x + 5)^2 - x^2 = 95$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 - x^2 = 95$

$x^2 + 10x + 25 - x^2 = 95$

Приведем подобные слагаемые:

$10x + 25 = 95$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем 25 в правую часть уравнения:

$10x = 95 - 25$

$10x = 70$

Найдем $x$:

$x = \frac{70}{10}$

$x = 7$

Следовательно, сторона исходного квадрата равна 7 см.

Ответ: 7 см.

716. Если сторону квадрата уменьшить на 8 см, то получится квадрат, площадь которого на $352 \text{ см}^2$ меньше площади данного. Найдите сторону данного квадрата.

Обозначим сторону данного (изначального) квадрата через $a$ (в сантиметрах). Тогда его площадь $S_1$ вычисляется по формуле $S_1 = a^2$.

Согласно условию, сторону квадрата уменьшили на 8 см. Длина стороны нового квадрата стала равна $(a - 8)$ см. Важно отметить, что $a$ должно быть больше 8, так как длина стороны не может быть отрицательной или нулевой.

Площадь нового, меньшего квадрата $S_2$ равна $(a - 8)^2$.

В задаче сказано, что площадь нового квадрата на 352 см² меньше площади данного. Это можно выразить уравнением:

$S_1 - S_2 = 352$

Подставим в это уравнение выражения для площадей $S_1$ и $S_2$:

$a^2 - (a - 8)^2 = 352$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ или раскроем скобки по формуле квадрата разности. Выберем второй способ:

$(a - 8)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 8 + 8^2 = a^2 - 16a + 64$

Подставим это выражение обратно в наше уравнение:

$a^2 - (a^2 - 16a + 64) = 352$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные:

$a^2 - a^2 + 16a - 64 = 352$

Слагаемые $a^2$ и $-a^2$ взаимно уничтожаются:

$16a - 64 = 352$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем $-64$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$16a = 352 + 64$

$16a = 416$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 16:

$a = \frac{416}{16}$

$a = 26$

Таким образом, сторона данного квадрата равна 26 см.

Проверим полученный результат:

Площадь данного квадрата: $S_1 = 26^2 = 676$ см².

Сторона нового квадрата: $26 - 8 = 18$ см.

Площадь нового квадрата: $S_2 = 18^2 = 324$ см².

Разница площадей: $S_1 - S_2 = 676 - 324 = 352$ см².

Результат проверки совпадает с условием задачи.

Ответ: 26 см.

717. Найдите три последовательных натуральных числа, если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше суммы квадратов двух других чисел.

Пусть искомые три последовательных натуральных числа — это $n$, $n+1$ и $n+2$. Согласно условию, удвоенный квадрат большего из них, то есть $2(n+2)^2$, на 79 больше, чем сумма квадратов двух других чисел, то есть $n^2 + (n+1)^2$. Это позволяет составить следующее уравнение:

$2(n+2)^2 = n^2 + (n+1)^2 + 79$

Для решения уравнения раскроем скобки. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$2(n^2 + 2 \cdot n \cdot 2 + 2^2) = n^2 + (n^2 + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^2) + 79$

$2(n^2 + 4n + 4) = n^2 + n^2 + 2n + 1 + 79$

Упростим выражение, раскрыв скобки в левой части и приведя подобные слагаемые в правой:

$2n^2 + 8n + 8 = 2n^2 + 2n + 80$

Вычтем $2n^2$ из обеих частей уравнения:

$8n + 8 = 2n + 80$

Перенесем все слагаемые с переменной $n$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$8n - 2n = 80 - 8$

$6n = 72$

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $n$:

$n = \frac{72}{6}$

$n = 12$

Мы нашли наименьшее из трех чисел. Два других последовательных числа: Второе число: $n + 1 = 12 + 1 = 13$. Третье число: $n + 2 = 12 + 2 = 14$.

Итак, искомые числа — 12, 13 и 14.

Проверим полученный результат. Удвоенный квадрат большего числа: $2 \cdot 14^2 = 2 \cdot 196 = 392$. Сумма квадратов двух других чисел: $12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313$. Найдем разность: $392 - 313 = 79$. Разность равна 79, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 12, 13, 14.

718. Найдите четыре последовательных натуральных числа, если сумма квадратов второго и четвёртого из них на 82 больше, чем сумма квадратов первого и третьего.

Обозначим искомые четыре последовательных натуральных числа как $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$, где $n$ является натуральным числом.

Согласно условию задачи, сумма квадратов второго ($n+1$) и четвёртого ($n+3$) чисел на 82 больше, чем сумма квадратов первого ($n$) и третьего ($n+2$) чисел. Составим уравнение на основе этого условия:

$(n+1)^2 + (n+3)^2 = n^2 + (n+2)^2 + 82$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 6n + 9) = n^2 + (n^2 + 4n + 4) + 82$

Приведём подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$2n^2 + 8n + 10 = 2n^2 + 4n + 86$

Вычтем $2n^2$ из обеих частей уравнения, чтобы упростить его:

$8n + 10 = 4n + 86$

Перенесём слагаемые с переменной $n$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$8n - 4n = 86 - 10$

$4n = 76$

Разделим обе части на 4, чтобы найти $n$:

$n = \frac{76}{4}$

$n = 19$

Таким образом, первое число в последовательности — это 19. Теперь найдем остальные три числа:

Второе число: $19 + 1 = 20$

Третье число: $19 + 2 = 21$

Четвёртое число: $19 + 3 = 22$

Искомые числа: 19, 20, 21, 22.

Проверка

Проверим, выполняется ли условие задачи для найденных чисел.

Сумма квадратов второго и четвёртого чисел: $20^2 + 22^2 = 400 + 484 = 884$.

Сумма квадратов первого и третьего чисел: $19^2 + 21^2 = 361 + 441 = 802$.

Найдём разницу между этими суммами: $884 - 802 = 82$.

Разница равна 82, что соответствует условию задачи. Следовательно, числа найдены верно.

Ответ: 19, 20, 21, 22.

719. При каких значениях $a$ и $b$ верно равенство:

1) $(a+b)^2 = a^2 + b^2$;

2) $(a-b)^2 = (a+b)^2?$

1)

Для решения данного уравнения раскроем скобки в левой части, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Применив эту формулу, получим:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Теперь подставим это выражение в исходное равенство:

$a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2$

Вычтем из обеих частей уравнения слагаемые $a^2$ и $b^2$:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = a^2 + b^2 - a^2 - b^2$

$2ab = 0$

Разделив обе части на 2, получим:

$ab = 0$

Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, исходное равенство верно, если $a = 0$ или $b = 0$.

Ответ: Равенство верно, если $a = 0$ или $b = 0$.

2)

Раскроем скобки в обеих частях равенства, используя формулы квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Левая часть: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Правая часть: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Приравняем полученные выражения:

$a^2 - 2ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Вычтем из обеих частей уравнения слагаемые $a^2$ и $b^2$:

$a^2 - 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2$

$-2ab = 2ab$

Перенесем слагаемое $2ab$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$-2ab - 2ab = 0$

$-4ab = 0$

Разделив обе части на -4, получим:

$ab = 0$

Как и в предыдущем пункте, это означает, что равенство будет верным, если $a = 0$ или $b = 0$.

Ответ: Равенство верно, если $a = 0$ или $b = 0$.

720. Докажите тождество:

1) $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2);$

2) $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab;$

3) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab;$

4) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2.$

1)

Чтобы доказать тождество $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$, преобразуем его левую часть, используя формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

Раскроем скобки в левой части выражения:

$(a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + a^2 + 2ab - 2ab + b^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a^2 + b^2)$

В результате преобразования левой части мы получили выражение, идентичное правой части: $2(a^2 + b^2) = 2(a^2 + b^2)$.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Чтобы доказать тождество $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$, преобразуем его левую часть. Снова воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности.

Раскроем скобки в левой части. Важно обратить внимание на знак минус перед второй скобкой:

$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 0 + 4ab + 0 = 4ab$

В результате мы получили выражение, идентичное правой части: $4ab = 4ab$.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Чтобы доказать тождество $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$, преобразуем его правую часть.

Раскроем скобки в выражении $(a + b)^2$ по формуле квадрата суммы:

$(a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2ab - 2ab + b^2 = a^2 + b^2$

В результате преобразования правой части мы получили выражение, идентичное левой части: $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Чтобы доказать тождество $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$, которое известно как тождество Брахмагупты-Фибоначчи, преобразуем обе части уравнения и сравним результаты.

Сначала преобразуем левую часть, раскрыв скобки:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

Теперь преобразуем правую часть. Раскроем каждый квадрат по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = ((ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2) + ((ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2)$

Упростим полученное выражение:

$(a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Слагаемые $2abcd$ и $-2abcd$ взаимно уничтожаются:

$a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2$

Сравним преобразованные левую и правую части:

Левая часть: $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

Правая часть: $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

Они равны. Следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

721. Докажите тождество:

1) $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab;$

2) $(a-b)^2 + (ab+1)^2 = (a^2+1)(b^2+1).$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его правую часть. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Правая часть: $(a - b)^2 + 2ab$.

Раскрываем квадрат разности:

$(a - b)^2 + 2ab = (a^2 - 2ab + b^2) + 2ab$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $-2ab$ и $2ab$ взаимно уничтожаются:

$a^2 - 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2$

В результате преобразования мы получили выражение, стоящее в левой части тождества: $a^2 + b^2$.

Так как $a^2 + b^2 = a^2 + b^2$, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства данного тождества преобразуем по отдельности левую и правую части и сравним полученные выражения.

Преобразуем левую часть: $(a - b)^2 + (ab + 1)^2$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a - b)^2 + (ab + 1)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + ((ab)^2 + 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2) = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2b^2 + 2ab + 1)$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2 + a^2b^2 + 2ab + 1 = a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1$

Преобразуем правую часть: $(a^2 + 1)(b^2 + 1)$.

Раскроем скобки, выполнив умножение многочленов:

$(a^2 + 1)(b^2 + 1) = a^2 \cdot b^2 + a^2 \cdot 1 + 1 \cdot b^2 + 1 \cdot 1 = a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1$

Сравнение:

Левая часть: $a^2 + b^2 + a^2b^2 + 1$.

Правая часть: $a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1$.

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, левая и правая части равны. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

722. Докажите, что значение выражения $ (x-3)^2+(x+3)^2-2(x-6)(x+6) $ не зависит от значения переменной $x$.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения переменная $x$ исчезнет и останется только числовое значение (константа), то утверждение будет доказано.

Исходное выражение: $(x-3)^2 + (x+3)^2 - 2(x-6)(x+6)$.

Для упрощения этого выражения мы будем использовать формулы сокращенного умножения:

1. Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

2. Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

3. Разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Применим эти формулы к соответствующим частям нашего выражения:

Для $(x-3)^2$ используем формулу квадрата разности:

$(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.

Для $(x+3)^2$ используем формулу квадрата суммы:

$(x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.

Для $(x-6)(x+6)$ используем формулу разности квадратов:

$(x-6)(x+6) = x^2 - 6^2 = x^2 - 36$.

Теперь подставим полученные раскрытые выражения обратно в исходное:

$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 6x + 9) - 2(x^2 - 36)$

Раскроем скобки и выполним умножение:

$x^2 - 6x + 9 + x^2 + 6x + 9 - 2 \cdot x^2 - 2 \cdot (-36)$

$x^2 - 6x + 9 + x^2 + 6x + 9 - 2x^2 + 72$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2 - 2x^2) + (-6x + 6x) + (9 + 9 + 72)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(2x^2 - 2x^2) + 0 + (18 + 72)$

$0 + 0 + 90 = 90$

В результате упрощения мы получили число 90. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $x$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $x$.

Ответ: Значение выражения равно 90 при любом $x$, что и требовалось доказать.

723. Докажите, что значение выражения $(6x - 8)^2 + (8x + 6)^2 - (10x - 1) \times (10x + 1)$ не зависит от значения переменной $x$.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, нам необходимо его упростить. Если в результате упрощения мы получим константу (число без переменной $x$), то утверждение будет доказано.

Запишем исходное выражение:

$(6x - 8)^2 + (8x + 6)^2 - (10x - 1)(10x + 1)$

Для упрощения воспользуемся формулами сокращенного умножения. Раскроем каждую часть выражения отдельно.

1. Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ к первому слагаемому:

$(6x - 8)^2 = (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 8 + 8^2 = 36x^2 - 96x + 64$.

2. Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ко второму слагаемому:

$(8x + 6)^2 = (8x)^2 + 2 \cdot 8x \cdot 6 + 6^2 = 64x^2 + 96x + 36$.

3. Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ к третьему члену:

$(10x - 1)(10x + 1) = (10x)^2 - 1^2 = 100x^2 - 1$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(36x^2 - 96x + 64) + (64x^2 + 96x + 36) - (100x^2 - 1)$

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед последней скобкой меняет знаки всех членов внутри нее на противоположные:

$36x^2 - 96x + 64 + 64x^2 + 96x + 36 - 100x^2 + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(36x^2 + 64x^2 - 100x^2) + (-96x + 96x) + (64 + 36 + 1)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(100x^2 - 100x^2) + 0 + 101 = 0 + 0 + 101 = 101$

В результате упрощения мы получили число 101. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $x$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от $x$.

Ответ: упрощенное выражение равно 101, что является постоянным значением, не зависящим от переменной $x$.

724. Каким числом, чётным или нечётным, является квадрат нечётного натурального числа?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим общее представление нечётного натурального числа.

Любое нечётное натуральное число n можно записать в виде $n = 2k + 1$, где k — любое целое неотрицательное число (то есть $k = 0, 1, 2, ...$). Например, при $k=0$ получаем $n=1$, при $k=1$ получаем $n=3$, при $k=2$ получаем $n=5$, и так далее.

Теперь возведём это число в квадрат:
$n^2 = (2k + 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot (2k) \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Проанализируем полученное выражение $4k^2 + 4k + 1$. Первые два слагаемых, $4k^2$ и $4k$, делятся на 2, поэтому их сумма также делится на 2. Вынесем 2 за скобки:
$4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

Пусть $m = 2k^2 + 2k$. Поскольку k — целое число, то $m$ также является целым числом. Таким образом, квадрат нечётного числа можно представить в виде $2m + 1$.

Число вида $2m + 1$ по определению является нечётным, так как оно не делится нацело на 2 (даёт остаток 1 при делении на 2).

Следовательно, квадрат нечётного натурального числа всегда является нечётным числом.

Например:
$3^2 = 9$ (нечётное)
$5^2 = 25$ (нечётное)
$11^2 = 121$ (нечётное)

Ответ: нечётным.

725. Докажите формулу куба суммы двух выражений:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(x + 3)^3$;

2) $(2x + y)^3$.

Для доказательства формулы куба суммы двух выражений $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ представим куб суммы как произведение трех одинаковых скобок и последовательно выполним умножение.

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a+b)(a+b)^2$

Мы знаем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Подставим ее в наше выражение:

$(a+b)^3 = (a+b)(a^2+2ab+b^2)$

Теперь раскроем скобки, умножив каждый член из первой скобки на многочлен во второй скобке:

$a(a^2+2ab+b^2) + b(a^2+2ab+b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2$

Выполним умножение в каждом слагаемом:

$a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Таким образом, мы доказали, что левая часть равна правой. Формула верна.

Ответ: Доказательство приведено выше, формула $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ является тождеством.

1) Преобразуем в многочлен выражение $(x+3)^3$, используя формулу куба суммы. В этом случае $a=x$, а $b=3$.

Подставим $x$ и $3$ в формулу $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:

$(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3$

Теперь упростим каждый член выражения:

$x^3 + 9x^2 + 3 \cdot x \cdot 9 + 27$

Окончательно получаем:

$x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

Ответ: $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

2) Преобразуем в многочлен выражение $(2x+y)^3$. В этом случае $a=2x$, а $b=y$.

Подставим $2x$ и $y$ в формулу $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:

$(2x+y)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot (2x) \cdot y^2 + y^3$

Теперь упростим каждый член выражения, помня, что при возведении произведения в степень нужно возвести в эту степень каждый множитель:

$2^3x^3 + 3 \cdot (2^2x^2) \cdot y + 6xy^2 + y^3$

$8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot y + 6xy^2 + y^3$

Окончательно получаем:

$8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$

Ответ: $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$

726. Докажите формулу куба разности двух выражений:

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(1-x)^3$;

2) $(x-5y)^3$.

Для доказательства формулы куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ необходимо раскрыть скобки в левой части выражения.

Представим куб разности как произведение $(a-b)$ на квадрат разности $(a-b)^2$:

$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2$

Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получим:

$(a-b)^3 = (a-b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Теперь выполним умножение многочленов:

$(a-b)(a^2 - 2ab + b^2) = a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой, что и доказывает формулу.

Теперь, используя доказанную формулу, преобразуем выражения в многочлены.

Для выражения $(1-x)^3$ применим формулу куба разности, где $a=1$ и $b=x$.

Подставим эти значения в формулу $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(1-x)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot x + 3 \cdot 1 \cdot x^2 - x^3$

Упростим полученное выражение:

$1 - 3x + 3x^2 - x^3$

Ответ: $1 - 3x + 3x^2 - x^3$.

Для выражения $(x-5y)^3$ применим ту же формулу, где $a=x$ и $b=5y$.

Подставим значения в формулу:

$(x-5y)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot (5y) + 3 \cdot x \cdot (5y)^2 - (5y)^3$

Выполним вычисления и упростим:

$x^3 - 15x^2y + 3x(25y^2) - 125y^3 = x^3 - 15x^2y + 75xy^2 - 125y^3$

Ответ: $x^3 - 15x^2y + 75xy^2 - 125y^3$.

727. Докажите формулу квадрата трёхчлена: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac.$

Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(a + b - c)^2;$

2) $(a - b + 4)^2.$

Доказательство формулы квадрата трёхчлена:
Чтобы доказать формулу $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$, можно сгруппировать слагаемые и применить формулу квадрата суммы двух выражений $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
Представим трёхчлен $(a+b+c)$ как сумму двух слагаемых, где первое слагаемое — это $(a+b)$, а второе — $c$:
$(a+b+c)^2 = ((a+b)+c)^2$
Применим формулу квадрата суммы, где $x=(a+b)$ и $y=c$:
$((a+b)+c)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$
Теперь раскроем скобки. Сначала возведём в квадрат двучлен $(a+b)$:
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
Затем раскроем второе слагаемое $2(a+b)c$:
$2(a+b)c = 2ac+2bc$
Подставим полученные выражения обратно в формулу:
$(a^2+2ab+b^2) + (2ac+2bc) + c^2$
Перегруппируем слагаемые, чтобы получить стандартный вид многочлена:
$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$
Таким образом, формула доказана.

1)
Преобразуем выражение $(a+b-c)^2$ в многочлен, используя доказанную формулу. Для этого представим выражение в виде $(a+b+(-c))^2$.
В формуле $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$ заменим $x$ на $a$, $y$ на $b$ и $z$ на $-c$:
$(a+b+(-c))^2 = a^2 + b^2 + (-c)^2 + 2(a)(b) + 2(b)(-c) + 2(a)(-c)$
Выполним вычисления:
$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$
Ответ: $a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$

2)
Преобразуем выражение $(a-b+4)^2$ в многочлен. Представим его в виде $(a+(-b)+4)^2$.
В формуле $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$ заменим $x$ на $a$, $y$ на $-b$ и $z$ на $4$:
$(a+(-b)+4)^2 = a^2 + (-b)^2 + 4^2 + 2(a)(-b) + 2(-b)(4) + 2(a)(4)$
Выполним вычисления:
$a^2 + b^2 + 16 - 2ab - 8b + 8a$
Ответ: $a^2+b^2+16-2ab+8a-8b$