Страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

738. Докажите тождество:

$(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2$

Данное тождество использовалось великим древнегреческим учёным Пифагором (VI в. до н. э.) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного треугольника. При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений $2n + 1$; $2n^2 + 2n$; $2n^2 + 2n + 1$ являются длинами сторон прямоугольного треугольника.

Для доказательства данного тождества необходимо показать, что его левая и правая части равны при любых значениях переменной $n$. Для этого преобразуем обе части тождества, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Преобразуем левую часть тождества:

Левая часть (ЛЧ) имеет вид: $(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ для каждого слагаемого:

$(2n + 1)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2 = 4n^2 + 4n + 1$

$(2n^2 + 2n)^2 = (2n^2)^2 + 2 \cdot 2n^2 \cdot 2n + (2n)^2 = 4n^4 + 8n^3 + 4n^2$

Теперь сложим полученные выражения:

ЛЧ = $(4n^2 + 4n + 1) + (4n^4 + 8n^3 + 4n^2)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

ЛЧ = $4n^4 + 8n^3 + (4n^2 + 4n^2) + 4n + 1 = 4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1$

2. Преобразуем правую часть тождества:

Правая часть (ПЧ) имеет вид: $(2n^2 + 2n + 1)^2$.

Чтобы раскрыть скобки, сгруппируем слагаемые как $((2n^2 + 2n) + 1)$ и снова применим формулу квадрата суммы:

ПЧ = $((2n^2 + 2n) + 1)^2 = (2n^2 + 2n)^2 + 2 \cdot (2n^2 + 2n) \cdot 1 + 1^2$

Раскроем скобки и выполним умножение:

ПЧ = $(4n^4 + 8n^3 + 4n^2) + (4n^2 + 4n) + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

ПЧ = $4n^4 + 8n^3 + (4n^2 + 4n^2) + 4n + 1 = 4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1$

3. Сравнение результатов:

В результате преобразований мы получили:

Левая часть: $4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1$

Правая часть: $4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1$

Поскольку левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество $(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2$ доказано, так как обе части уравнения после алгебраических преобразований приводятся к многочлену $4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1$.

739. (Тождество Ж. Л. Лагранжа¹) Докажите тождество:

$(a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) - (am + bn + ck)^2 = (an - bm)^2 + (ak - cm)^2 + (bk - cn)^2$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности и покажем, что в результате получаются одинаковые выражения.

Преобразование левой части тождества:

Левая часть: $(a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) - (am + bn + ck)^2$.

1. Раскроем произведение первых двух скобок:

$(a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) = a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2$.

2. Раскроем квадрат суммы:

$(am + bn + ck)^2 = (am)^2 + (bn)^2 + (ck)^2 + 2(am)(bn) + 2(am)(ck) + 2(bn)(ck) = a^2m^2 + b^2n^2 + c^2k^2 + 2abmn + 2ackm + 2bcnk$.

3. Вычтем второе выражение из первого:

$(a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2) - (a^2m^2 + b^2n^2 + c^2k^2 + 2abmn + 2ackm + 2bcnk)$.

4. Упростим выражение, сократив подобные члены ($a^2m^2$, $b^2n^2$, $c^2k^2$):

$a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 - 2abmn - 2ackm - 2bcnk$.

Преобразование правой части тождества:

Правая часть: $(an - bm)^2 + (ak - cm)^2 + (bk - cn)^2$.

1. Раскроем каждый квадрат разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(an - bm)^2 = a^2n^2 - 2abmn + b^2m^2$.

$(ak - cm)^2 = a^2k^2 - 2ackm + c^2m^2$.

$(bk - cn)^2 = b^2k^2 - 2bcnk + c^2n^2$.

2. Сложим полученные выражения:

$(a^2n^2 - 2abmn + b^2m^2) + (a^2k^2 - 2ackm + c^2m^2) + (b^2k^2 - 2bcnk + c^2n^2)$.

3. Сгруппируем члены, чтобы получить итоговое выражение:

$a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 - 2abmn - 2ackm - 2bcnk$.

Вывод:

Выражение, полученное после преобразования левой части, полностью совпадает с выражением, полученным после преобразования правой части. Следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

$ - (an - bm) + (an - cm) + (bn - cn)? $

740. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа.

Для доказательства утверждения воспользуемся методом от противного.

Обозначим пять последовательных натуральных чисел через $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$. Чтобы все эти числа были натуральными, необходимо, чтобы наименьшее из них было не меньше 1, то есть $n-2 \ge 1$, откуда $n \ge 3$.

Теперь найдем сумму их квадратов, которую обозначим как $S$: $S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $S = (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$
$S = 5n^2 + (-4n - 2n + 2n + 4n) + (4 + 1 + 1 + 4)$
$S = 5n^2 + 10$.

Вынесем общий множитель 5 за скобки: $S = 5(n^2 + 2)$.

Теперь предположим, что $S$ является квадратом некоторого натурального числа $k$. Это означает, что $S = k^2$. Получаем уравнение: $k^2 = 5(n^2 + 2)$.

Из этого уравнения видно, что $k^2$ делится на 5. Поскольку 5 является простым числом, то если квадрат числа делится на 5, то и само число должно делиться на 5. Следовательно, $k$ можно представить в виде $k = 5m$, где $m$ — некоторое натуральное число.

Подставим $k=5m$ в наше уравнение: $(5m)^2 = 5(n^2 + 2)$
$25m^2 = 5(n^2 + 2)$.

Разделим обе части уравнения на 5: $5m^2 = n^2 + 2$.

Из последнего равенства следует, что выражение $n^2 + 2$ должно делиться на 5. Рассмотрим это, используя сравнения по модулю 5. Условие $n^2 + 2$ делится на 5 можно записать как: $n^2 + 2 \equiv 0 \pmod{5}$,
что эквивалентно: $n^2 \equiv -2 \pmod{5}$ или $n^2 \equiv 3 \pmod{5}$.

Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат натурального числа при делении на 5. Любое число $n$ при делении на 5 может давать один из следующих остатков: 0, 1, 2, 3, 4. Возведем эти остатки в квадрат:
- если $n \equiv 0 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{5}$;
- если $n \equiv 1 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{5}$;
- если $n \equiv 2 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{5}$;
- если $n \equiv 3 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv 4 \pmod{5}$;
- если $n \equiv 4 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$.

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 5 может иметь в остатке только 0, 1 или 4.

Мы же пришли к выводу, что для выполнения нашего предположения необходимо, чтобы $n^2$ при делении на 5 давало в остатке 3. Это невозможно. Мы получили противоречие.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел может быть квадратом натурального числа, является ложным.

Ответ: Сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа, что и требовалось доказать.

741. Поезд «Сапсан» отправился из Москвы в 05:45 и прибыл в Санкт-Петербург в 09:15. Протяжённость маршрута составляет 650 км. Найдите среднюю скорость движения поезда. Ответ дайте в километрах в час, округлив до десятых.

Чтобы найти среднюю скорость движения поезда, необходимо пройденное расстояние разделить на время, затраченное на путь.

Сначала определим время в пути. Поезд отправился в 05:45 и прибыл в 09:15. Время в пути равно разнице между временем прибытия и временем отправления:
$t = 9 \text{ ч } 15 \text{ мин } - 5 \text{ ч } 45 \text{ мин } = 3 \text{ ч } 30 \text{ мин }$.
Для расчета скорости в километрах в час необходимо перевести все время в часы. Так как 30 минут — это $0,5$ часа, общее время в пути составляет:
$t = 3 + 0,5 = 3,5$ часа.

Теперь вычислим среднюю скорость. Протяженность маршрута $S$ составляет 650 км. Используем формулу средней скорости $v = \frac{S}{t}$:
$v = \frac{650}{3,5} = \frac{6500}{35} = \frac{1300}{7} \approx 185,7142...$ км/ч.

Согласно условию задачи, результат необходимо округлить до десятых. В полученном числе $185,7142...$ цифра в разряде сотых — это 1. Поскольку $1 < 5$, цифру в разряде десятых (7) оставляем без изменений.
Таким образом, средняя скорость поезда приблизительно равна $185,7$ км/ч.

Ответ: 185,7.

742. В корнеплодах сахарной свёклы содержится $25\%$ сахара, в то время как в стеблях сахарного тростника – только $18\%$. Сколько тонн сахарного тростника надо переработать, чтобы получить столько же сахара, сколько из 3600 т сахарной свёклы?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два основных шага: сначала найти, сколько сахара получается из заданного количества сахарной свёклы, а затем вычислить, сколько сахарного тростника потребуется для получения такого же количества сахара.

1. Вычисление массы сахара из сахарной свёклы.

Дано, что масса сахарной свёклы составляет 3600 тонн, а содержание сахара в ней — 25%. Чтобы найти массу чистого сахара, нужно умножить общую массу свёклы на процентное содержание сахара.

Представим проценты в виде десятичной дроби: $25\% = \frac{25}{100} = 0.25$.

Масса сахара = $3600 \text{ т} \times 0.25 = 900 \text{ т}$.

Итак, из 3600 тонн сахарной свёклы можно получить 900 тонн сахара.

2. Вычисление необходимой массы сахарного тростника.

Теперь нам нужно получить 900 тонн сахара из сахарного тростника, в котором содержание сахара составляет 18%. Пусть $x$ — искомая масса сахарного тростника в тоннах.

Масса сахара из тростника составляет 18% от его общей массы, то есть $x \times 0.18$.

Составим уравнение, приравняв количество сахара из свёклы и тростника:

$0.18 \times x = 900$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$x = \frac{900}{0.18}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{900 \times 100}{18} = \frac{90000}{18}$

$x = 5000 \text{ т}$

Таким образом, для получения такого же количества сахара, как из 3600 т свёклы, потребуется переработать 5000 т сахарного тростника.

Ответ: 5000 тонн сахарного тростника.

743. В магазин привезли 740 кг апельсинов и бананов в 80 ящиках. В одном ящике было 10 кг апельсинов или 8 кг бананов. Сколько килограммов апельсинов привезли в магазин?

Для решения этой задачи составим систему уравнений.

Пусть $x$ — это количество ящиков с апельсинами, а $y$ — это количество ящиков с бананами.

1. Всего в магазин привезли 80 ящиков. Это дает нам первое уравнение:
$x + y = 80$

2. Общий вес апельсинов и бананов составляет 740 кг. В одном ящике 10 кг апельсинов или 8 кг бананов. Это дает нам второе уравнение:
$10x + 8y = 740$

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x + y = 80 \\ 10x + 8y = 740 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 80 - x$

Подставим это значение $y$ во второе уравнение:
$10x + 8(80 - x) = 740$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$ (количество ящиков с апельсинами):
$10x + 640 - 8x = 740$
$2x = 740 - 640$
$2x = 100$
$x = 100 / 2$
$x = 50$

Итак, в магазин привезли 50 ящиков с апельсинами.

Чтобы найти, сколько всего килограммов апельсинов привезли, нужно количество ящиков с апельсинами умножить на вес апельсинов в одном ящике:
$50 \times 10 = 500$ кг

Ответ: 500 кг апельсинов привезли в магазин.

744. Какое наименьшее значение и при каком значении переменной может принимать выражение:

1) $x^2$;

2) $x^2 - 16$;

3) $(x + 4)^2 + 20$?

1) Для выражения $x^2$:

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$ для любого значения переменной $x$.

Следовательно, самое маленькое значение, которое может принять выражение $x^2$, равно 0.

Это значение достигается, когда основание степени равно нулю, то есть при $x = 0$.

Ответ: наименьшее значение равно 0 при $x = 0$.

2) Для выражения $x^2 - 16$:

Данное выражение представляет собой разность. Чтобы оно приняло наименьшее значение, уменьшаемое $x^2$ должно быть наименьшим возможным.

Как мы выяснили в предыдущем пункте, наименьшее значение для $x^2$ равно 0 и достигается при $x = 0$.

Подставим это минимальное значение в выражение, чтобы найти его наименьшее значение: $0 - 16 = -16$.

Ответ: наименьшее значение равно -16 при $x = 0$.

3) Для выражения $(x + 4)^2 + 20$:

Данное выражение представляет собой сумму. Чтобы оно приняло наименьшее значение, первое слагаемое $(x + 4)^2$ должно быть наименьшим возможным, так как второе слагаемое (20) является константой.

Выражение $(x + 4)^2$ является квадратом, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(x + 4)^2 \ge 0$.

Наименьшее значение для $(x + 4)^2$ равно 0. Оно достигается, когда выражение в скобках равно нулю: $x + 4 = 0$, откуда $x = -4$.

Подставим наименьшее значение слагаемого $(x + 4)^2$ в исходное выражение: $0 + 20 = 20$.

Ответ: наименьшее значение равно 20 при $x = -4$.

745. Какое наибольшее значение и при каком значении переменной может принимать выражение:

1) $ -x^2; $

2) $ -x^2 + 4; $

3) $ 12 - (x-1)^2? $

1) Для любого действительного числа $x$ его квадрат $x^2$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Если умножить обе части этого неравенства на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $-x^2 \le 0$. Это означает, что выражение $-x^2$ принимает только неположительные значения. Следовательно, его наибольшее значение равно 0. Это значение достигается тогда, когда $x^2 = 0$, то есть при $x=0$.
Ответ: наибольшее значение равно 0 при $x = 0$.

2) Рассмотрим выражение $-x^2 + 4$. Как мы установили в предыдущем пункте, выражение $-x^2$ имеет наибольшее значение 0 при $x=0$. Чтобы найти наибольшее значение выражения $-x^2 + 4$, нужно к наибольшему значению $-x^2$ прибавить 4. Таким образом, наибольшее значение всего выражения будет $0 + 4 = 4$. Оно достигается при том же значении переменной, то есть при $x=0$.
Иначе говоря, так как $x^2 \ge 0$, то $-x^2 \le 0$. Прибавляя 4 к обеим частям неравенства, получаем $-x^2 + 4 \le 4$. Наибольшее значение равно 4.
Ответ: наибольшее значение равно 4 при $x = 0$.

3) Рассмотрим выражение $12 - (x-1)^2$. Слагаемое $(x-1)^2$ является квадратом числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(x-1)^2 \ge 0$. Чтобы значение всего выражения было наибольшим, нужно из 12 вычесть как можно меньшее число. Наименьшее возможное значение для $(x-1)^2$ равно 0. Это значение достигается, когда основание степени равно нулю, то есть $x-1=0$, откуда $x=1$. При $x=1$ значение выражения равно $12 - (1-1)^2 = 12 - 0^2 = 12$.
Ответ: наибольшее значение равно 12 при $x = 1$.

746. При каком значении переменной выполняется равенство:

1) $(x-1)^2 + (x+1)^2 = -10;$

2) $(x-1)^2 + (x+1)^2 = 0;$

3) $(x^2-1)^2 + (x+1)^2 = 0?$

1) $(x-1)^2 + (x+1)^2 = -10$

Левая часть уравнения представляет собой сумму двух квадратов: $(x-1)^2$ и $(x+1)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ и $(x+1)^2 \ge 0$.

Следовательно, их сумма также всегда неотрицательна:

$(x-1)^2 + (x+1)^2 \ge 0$

Правая часть уравнения равна $-10$, что является отрицательным числом. Равенство между неотрицательным числом (левая часть) и отрицательным числом (правая часть) невозможно. Таким образом, у этого уравнения нет решений в действительных числах.

Для проверки можно раскрыть скобки и решить уравнение алгебраически:

$(x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) = -10$

$2x^2 + 2 = -10$

$2x^2 = -10 - 2$

$2x^2 = -12$

$x^2 = -6$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, что подтверждает отсутствие решений.

Ответ: таких значений переменной не существует.

2) $(x-1)^2 + (x+1)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных слагаемых $(x-1)^2$ и $(x+1)^2$ равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых равно нулю. Это условие можно записать в виде системы уравнений:

$\begin{cases} (x-1)^2 = 0 \\ (x+1)^2 = 0 \end{cases}$

Решая первое уравнение, получаем:

$x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Решая второе уравнение, получаем:

$x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Поскольку переменная $x$ не может одновременно быть равной $1$ и $-1$, данная система уравнений не имеет решений. Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.

Алгебраическое решение также приводит к этому выводу:

$(x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) = 0$

$2x^2 + 2 = 0$

$2x^2 = -2$

$x^2 = -1$

Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: таких значений переменной не существует.

3) $(x^2-1)^2 + (x+1)^2 = 0$

Как и в предыдущем пункте, равенство возможно только в том случае, если оба слагаемых, являющихся квадратами, равны нулю. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} (x^2-1)^2 = 0 \\ (x+1)^2 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы следует:

$x^2-1 = 0$

$x^2 = 1$

Корни этого уравнения: $x = 1$ и $x = -1$.

Из второго уравнения системы следует:

$x+1 = 0$

$x = -1$.

Для того чтобы система имела решение, необходимо найти значение $x$, которое удовлетворяет обоим уравнениям. Сравнивая решения, видим, что общим корнем является $x = -1$.

Выполним проверку, подставив $x = -1$ в исходное уравнение:

$((-1)^2 - 1)^2 + ((-1) + 1)^2 = (1 - 1)^2 + (0)^2 = 0^2 + 0^2 = 0$

$0 = 0$

Равенство выполняется.

Ответ: $x = -1$.