Номер 746, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 746, страница 126.

Условие.

746. При каком значении переменной выполняется равенство:

1) $(x-1)^2 + (x+1)^2 = -10;$

2) $(x-1)^2 + (x+1)^2 = 0;$

3) $(x^2-1)^2 + (x+1)^2 = 0?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x-1)^2 + (x+1)^2 = -10$

Левая часть уравнения представляет собой сумму двух квадратов: $(x-1)^2$ и $(x+1)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ и $(x+1)^2 \ge 0$.

Следовательно, их сумма также всегда неотрицательна:

$(x-1)^2 + (x+1)^2 \ge 0$

Правая часть уравнения равна $-10$, что является отрицательным числом. Равенство между неотрицательным числом (левая часть) и отрицательным числом (правая часть) невозможно. Таким образом, у этого уравнения нет решений в действительных числах.

Для проверки можно раскрыть скобки и решить уравнение алгебраически:

$(x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) = -10$

$2x^2 + 2 = -10$

$2x^2 = -10 - 2$

$2x^2 = -12$

$x^2 = -6$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, что подтверждает отсутствие решений.

Ответ: таких значений переменной не существует.

2) $(x-1)^2 + (x+1)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных слагаемых $(x-1)^2$ и $(x+1)^2$ равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых равно нулю. Это условие можно записать в виде системы уравнений:

$\begin{cases} (x-1)^2 = 0 \\ (x+1)^2 = 0 \end{cases}$

Решая первое уравнение, получаем:

$x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Решая второе уравнение, получаем:

$x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Поскольку переменная $x$ не может одновременно быть равной $1$ и $-1$, данная система уравнений не имеет решений. Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.

Алгебраическое решение также приводит к этому выводу:

$(x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) = 0$

$2x^2 + 2 = 0$

$2x^2 = -2$

$x^2 = -1$

Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: таких значений переменной не существует.

3) $(x^2-1)^2 + (x+1)^2 = 0$

Как и в предыдущем пункте, равенство возможно только в том случае, если оба слагаемых, являющихся квадратами, равны нулю. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} (x^2-1)^2 = 0 \\ (x+1)^2 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы следует:

$x^2-1 = 0$

$x^2 = 1$

Корни этого уравнения: $x = 1$ и $x = -1$.

Из второго уравнения системы следует:

$x+1 = 0$

$x = -1$.

Для того чтобы система имела решение, необходимо найти значение $x$, которое удовлетворяет обоим уравнениям. Сравнивая решения, видим, что общим корнем является $x = -1$.

Выполним проверку, подставив $x = -1$ в исходное уравнение:

$((-1)^2 - 1)^2 + ((-1) + 1)^2 = (1 - 1)^2 + (0)^2 = 0^2 + 0^2 = 0$

$0 = 0$

Равенство выполняется.

Ответ: $x = -1$.