Номер 753, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 753, страница 130.

Условие.

753. Представьте многочлен в виде квадрата суммы или квадрата разности двух выражений:

1) $a^2 + 2a + 1;$

2) $x^2 - 12x + 36;$

3) $y^2 - 18y + 81;$

4) $100 - 20c + c^2;$

5) $a^2 - 6ab + 9b^2;$

6) $9a^2 - 30ab + 25b^2;$

7) $b^4 - 2b^2c + c^2;$

8) $m^8 + m^4n^2 + \frac{1}{4}n^4;$

9) $36a^2b^2 - 12ab + 1;$

10) $x^4 + 2x^2 + 1;$

11) $\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6;$

12) $0.01a^8 + 25b^{14} - a^4b^7.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить многочлен $a^2 + 2a + 1$ в виде квадрата суммы, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
В нашем выражении первый член $A^2 = a^2$, следовательно, $A=a$.
Третий член $B^2 = 1$, следовательно, $B=1$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$, что совпадает со вторым членом многочлена.
Таким образом, выражение является полным квадратом суммы.
$a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$.
Ответ: $(a+1)^2$.

2) Для многочлена $x^2 - 12x + 36$ применим формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = x^2$, значит $A=x$.
$B^2 = 36$, значит $B=6$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot x \cdot 6 = -12x$. Это соответствует второму члену многочлена.
Следовательно, $x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2$.
Ответ: $(x-6)^2$.

3) Многочлен $y^2 - 18y + 81$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
В этом случае $A^2 = y^2$, откуда $A=y$.
$B^2 = 81$, откуда $B=9$.
Средний член: $-2AB = -2 \cdot y \cdot 9 = -18y$. Он совпадает с данным.
Значит, $y^2 - 18y + 81 = (y-9)^2$.
Ответ: $(y-9)^2$.

4) Рассмотрим многочлен $100 - 20c + c^2$. Он также подходит под формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 100$, поэтому $A=10$.
$B^2 = c^2$, поэтому $B=c$.
Удвоенное произведение с минусом: $-2AB = -2 \cdot 10 \cdot c = -20c$. Это соответствует второму члену.
Таким образом, $100 - 20c + c^2 = (10-c)^2$.
Ответ: $(10-c)^2$.

5) Для многочлена $a^2 - 6ab + 9b^2$ используем формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = a^2$, значит $A=a$.
Третий член $B^2 = 9b^2 = (3b)^2$, значит $B=3b$.
Проверяем средний член: $-2AB = -2 \cdot a \cdot (3b) = -6ab$. Совпадает.
Следовательно, $a^2 - 6ab + 9b^2 = (a-3b)^2$.
Ответ: $(a-3b)^2$.

6) Многочлен $9a^2 - 30ab + 25b^2$ преобразуем по формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 9a^2 = (3a)^2$, откуда $A=3a$.
$B^2 = 25b^2 = (5b)^2$, откуда $B=5b$.
Проверка среднего члена: $-2AB = -2 \cdot (3a) \cdot (5b) = -30ab$. Совпадает.
Поэтому $9a^2 - 30ab + 25b^2 = (3a-5b)^2$.
Ответ: $(3a-5b)^2$.

7) Для многочлена $b^4 - 2b^2c + c^2$ применим формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = b^4 = (b^2)^2$, значит $A=b^2$.
$B^2 = c^2$, значит $B=c$.
Средний член: $-2AB = -2 \cdot b^2 \cdot c = -2b^2c$. Совпадает.
Таким образом, $b^4 - 2b^2c + c^2 = (b^2-c)^2$.
Ответ: $(b^2-c)^2$.

8) Многочлен $m^8 + m^4n^2 + \frac{1}{4}n^4$ представим в виде квадрата суммы по формуле $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = m^8 = (m^4)^2$, следовательно $A=m^4$.
$B^2 = \frac{1}{4}n^4 = (\frac{1}{2}n^2)^2$, следовательно $B=\frac{1}{2}n^2$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot m^4 \cdot (\frac{1}{2}n^2) = m^4n^2$. Соответствует среднему члену.
Значит, $m^8 + m^4n^2 + \frac{1}{4}n^4 = (m^4+\frac{1}{2}n^2)^2$.
Ответ: $(m^4+\frac{1}{2}n^2)^2$.

9) Для многочлена $36a^2b^2 - 12ab + 1$ используем формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 36a^2b^2 = (6ab)^2$, откуда $A=6ab$.
Третий член $B^2 = 1$, откуда $B=1$.
Проверяем средний член: $-2AB = -2 \cdot (6ab) \cdot 1 = -12ab$. Совпадает.
Таким образом, $36a^2b^2 - 12ab + 1 = (6ab-1)^2$.
Ответ: $(6ab-1)^2$.

10) Многочлен $x^4 + 2x^2 + 1$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = x^4 = (x^2)^2$, значит $A=x^2$.
$B^2 = 1$, значит $B=1$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot x^2 \cdot 1 = 2x^2$. Совпадает со средним членом.
Следовательно, $x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2+1)^2$.
Ответ: $(x^2+1)^2$.

11) Для многочлена $\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6$ используем формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = \frac{1}{16}x^4 = (\frac{1}{4}x^2)^2$, значит $A=\frac{1}{4}x^2$.
$B^2 = 16y^6 = (4y^3)^2$, значит $B=4y^3$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (\frac{1}{4}x^2) \cdot (4y^3) = -2x^2y^3$. Совпадает.
Таким образом, $\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6 = (\frac{1}{4}x^2 - 4y^3)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{4}x^2 - 4y^3)^2$.

12) Переставим члены многочлена $0,01a^8 + 25b^{14} - a^4b^7$ для удобства: $0,01a^8 - a^4b^7 + 25b^{14}$. Применим формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 0,01a^8 = (0,1a^4)^2$, следовательно $A=0,1a^4$.
Третий член $B^2 = 25b^{14} = (5b^7)^2$, следовательно $B=5b^7$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (0,1a^4) \cdot (5b^7) = -1 \cdot a^4b^7 = -a^4b^7$. Совпадает.
Значит, $0,01a^8 - a^4b^7 + 25b^{14} = (0,1a^4 - 5b^7)^2$.
Ответ: $(0,1a^4 - 5b^7)^2$.