Номер 759, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 759, страница 131.

Условие.

759. Представьте, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, трёхчлен:

1) $-8x + 16 + x^2;$

2) $a^8 + 4a^4b^3 + 4b^6;$

3) $2x - 25 - 0.04x^2;$

4) $25m^2 - 15mn + 9n^2;$

5) $81c^2 - 54b^2c + 9b^4;$

6) $b^{10} - a^2b^5 + 0.25a^4;$

7) $\frac{1}{16}x^2 - xy + 4y^2;$

8) $-\frac{9}{64}n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Переставим члены многочлена $-8x + 16 + x^2$ в порядке убывания степеней переменной x, чтобы получить $x^2 - 8x + 16$. Данный трёхчлен соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a^2 = x^2$, следовательно $a=x$, и $b^2 = 16$, следовательно $b=4$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot x \cdot 4 = 8x$. Таким образом, выражение $x^2 - 8x + 16$ можно представить как $(x-4)^2$.
Ответ: $(x-4)^2$.

2) Рассмотрим трёхчлен $a^8 + 4a^4b^3 + 4b^6$. Он соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a^2 = a^8$, следовательно $a=a^4$. $b^2 = 4b^6$, следовательно $b=2b^3$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot a^4 \cdot 2b^3 = 4a^4b^3$. Так как все члены совпадают, выражение можно представить как $(a^4 + 2b^3)^2$.
Ответ: $(a^4 + 2b^3)^2$.

3) Рассмотрим трёхчлен $2x - 25 - 0,04x^2$. Переставим члены и вынесем знак минус за скобки: $-(0,04x^2 - 2x + 25)$. Выражение в скобках $0,04x^2 - 2x + 25$ проверим на соответствие формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a^2 = 0,04x^2 = (0,2x)^2$, следовательно $a=0,2x$. $b^2 = 25 = 5^2$, следовательно $b=5$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 0,2x \cdot 5 = 2x$. Выражение в скобках равно $(0,2x - 5)^2$. Следовательно, исходное выражение является противоположным квадрату двучлена: $-(0,2x - 5)^2$.
Ответ: $-(0,2x - 5)^2$.

4) Рассмотрим трёхчлен $25m^2 - 15mn + 9n^2$. Попробуем представить его в виде квадрата разности $(a-b)^2$. Пусть $a^2 = 25m^2$, тогда $a=5m$. Пусть $b^2 = 9n^2$, тогда $b=3n$. Удвоенное произведение должно быть $2ab = 2 \cdot 5m \cdot 3n = 30mn$. Однако в исходном выражении средний член равен $15mn$. Поскольку $15mn \neq 30mn$, данный трёхчлен нельзя представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: Невозможно представить в виде квадрата двучлена.

5) Рассмотрим трёхчлен $81c^2 - 54b^2c + 9b^2$. Попробуем представить его в виде квадрата разности $(a-b)^2$. Кандидаты на квадраты членов: $a^2 = 81c^2$, откуда $a=9c$, и $b^2 = 9b^2$, откуда $b=3b$. Тогда удвоенное произведение должно быть $2ab = 2 \cdot 9c \cdot 3b = 54bc$. Средний член в исходном выражении равен $54b^2c$. Поскольку $54bc \neq 54b^2c$ (степени переменной b не совпадают), данный трёхчлен нельзя представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: Невозможно представить в виде квадрата двучлена.

6) Рассмотрим трёхчлен $b^{10} - a^2b^5 + 0,25a^4$. Он соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a^2 = b^{10}$, следовательно $a=b^5$. $b^2 = 0,25a^4$, следовательно $b=0,5a^2$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot b^5 \cdot 0,5a^2 = a^2b^5$. Так как все члены совпадают, выражение можно представить как $(b^5 - 0,5a^2)^2$.
Ответ: $(b^5 - 0,5a^2)^2$.

7) Рассмотрим трёхчлен $\frac{1}{16}x^2 - xy + 4y^2$. Он соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a^2 = \frac{1}{16}x^2$, следовательно $a=\frac{1}{4}x$. $b^2 = 4y^2$, следовательно $b=2y$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot \frac{1}{4}x \cdot 2y = xy$. Таким образом, выражение можно представить как $(\frac{1}{4}x - 2y)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{4}x - 2y)^2$.

8) Рассмотрим трёхчлен $-\frac{9}{64}n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4$. Вынесем знак минус за скобки: $-(\frac{9}{64}n^6 + 3mn^5 + 16m^2n^4)$. Выражение в скобках проверим на соответствие формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a^2 = \frac{9}{64}n^6$, следовательно $a=\frac{3}{8}n^3$. $b^2 = 16m^2n^4$, следовательно $b=4mn^2$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot \frac{3}{8}n^3 \cdot 4mn^2 = \frac{24}{8}mn^5 = 3mn^5$. Выражение в скобках равно $(\frac{3}{8}n^3 + 4mn^2)^2$. Следовательно, исходное выражение равно $-(\frac{3}{8}n^3 + 4mn^2)^2$.
Ответ: $-(\frac{3}{8}n^3 + 4mn^2)^2$.