Номер 766, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 766, страница 131.

Условие.

766. Какое число надо прибавить к многочлену $100m^4 + 120m^2 + 40$, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы выражение стало квадратом двучлена, оно должно соответствовать одной из формул сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ или $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Рассмотрим данный многочлен: $100m^4 + 120m^2 + 40$. Поскольку все его коэффициенты положительны, будем приводить его к виду $(a+b)^2$.

Сравним наш многочлен с формулой $a^2 + 2ab + b^2$.

Первый член $100m^4$ должен соответствовать $a^2$. Отсюда находим $a$:

$a^2 = 100m^4 = (10m^2)^2$

Следовательно, $a = 10m^2$.

Средний член $120m^2$ должен соответствовать удвоенному произведению $2ab$. Подставим в это выражение найденное значение $a$:

$2ab = 120m^2$

$2 \cdot (10m^2) \cdot b = 120m^2$

$20m^2 \cdot b = 120m^2$

Теперь найдем $b$, разделив обе части равенства на $20m^2$:

$b = \frac{120m^2}{20m^2} = 6$

Для того чтобы выражение было полным квадратом, его третий член должен быть равен $b^2$. Вычислим его:

$b^2 = 6^2 = 36$

Таким образом, многочлен, являющийся полным квадратом, имеет вид $100m^4 + 120m^2 + 36$, что тождественно равно $(10m^2 + 6)^2$.

В исходном многочлене свободный член равен 40. Чтобы из 40 получить 36, необходимо найти число $x$, которое удовлетворяет равенству:

$40 + x = 36$

Решим это уравнение относительно $x$:

$x = 36 - 40$

$x = -4$

Значит, к исходному многочлену нужно прибавить число -4.

Ответ: -4.