Номер 771, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 771, страница 132.

Условие.

771. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $(3x + 8)^2 - 2(3x + 8)(3x - 8) + (3x - 8)^2$

2) $(4x - 7)^2 + (4x - 11)^2 + 2(4x - 7)(11 - 4x)$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо упростить его. Заметим, что данное выражение представляет собой формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В нашем случае $a = (3x + 8)$ и $b = (3x - 8)$.

Подставим эти значения в формулу:

$(3x + 8)^2 - 2(3x + 8)(3x - 8) + (3x - 8)^2 = ((3x + 8) - (3x - 8))^2$

Теперь упростим выражение в скобках:

$((3x + 8) - (3x - 8))^2 = (3x + 8 - 3x + 8)^2$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(3x - 3x + 8 + 8)^2 = (0 + 16)^2 = 16^2$

Вычислим значение:

$16^2 = 256$

Полученное значение 256 является константой и не зависит от переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 256.

2) Упростим данное выражение. Для этого преобразуем один из множителей в последнем слагаемом:

$(11 - 4x) = -(4x - 11)$

Подставим это в исходное выражение:

$(4x - 7)^2 + (4x - 11)^2 + 2(4x - 7)(-(4x - 11))$

$(4x - 7)^2 + (4x - 11)^2 - 2(4x - 7)(4x - 11)$

Перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть знакомую формулу:

$(4x - 7)^2 - 2(4x - 7)(4x - 11) + (4x - 11)^2$

Это выражение является формулой квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$, где $a = (4x - 7)$ и $b = (4x - 11)$.

Применим формулу:

$((4x - 7) - (4x - 11))^2$

Упростим выражение в скобках:

$(4x - 7 - 4x + 11)^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x - 4x - 7 + 11)^2 = (0 + 4)^2 = 4^2$

Вычислим значение:

$4^2 = 16$

Полученное значение 16 является константой и не зависит от переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 16.