Номер 773, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 773, страница 132.

Условие.

773. Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях x. Укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении x:

1) $x^2 - 6x + 10;$

2) $16x^2 + 24x + 25;$

3) $x^2 + x + 1.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для выражения $x^2 - 6x + 10$ выделим полный квадрат, чтобы доказать его положительность и найти наименьшее значение.

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Преобразуем выражение:

$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (x - 3)^2 - 9 + 10 = (x - 3)^2 + 1$.

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(x - 3)^2 \ge 0$ для всех значений $x$.

Следовательно, значение всего выражения $(x - 3)^2 + 1$ всегда будет не меньше, чем $0 + 1 = 1$.

$(x - 3)^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку выражение всегда больше или равно 1, оно всегда принимает положительные значения.

Наименьшее значение достигается, когда слагаемое $(x - 3)^2$ равно нулю. Это происходит при $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$.

При $x = 3$ значение выражения равно $(3 - 3)^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1$.

Ответ: наименьшее значение равно 1 при $x = 3$.

2) Для выражения $16x^2 + 24x + 25$ выделим полный квадрат.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Преобразуем выражение:

$16x^2 + 24x + 25 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 25 = ((4x)^2 + 24x + 9) + 16 = (4x + 3)^2 + 16$.

Так как $(4x + 3)^2 \ge 0$ для всех значений $x$, то $(4x + 3)^2 + 16 \ge 0 + 16 = 16$.

Поскольку выражение всегда больше или равно 16, оно всегда принимает положительные значения.

Наименьшее значение достигается, когда $(4x + 3)^2 = 0$. Это происходит при $4x + 3 = 0$, то есть при $x = -\frac{3}{4}$.

При $x = -\frac{3}{4}$ значение выражения равно $(4(-\frac{3}{4}) + 3)^2 + 16 = (-3 + 3)^2 + 16 = 0^2 + 16 = 16$.

Ответ: наименьшее значение равно 16 при $x = -\frac{3}{4}$.

3) Для выражения $x^2 + x + 1$ выделим полный квадрат.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Преобразуем выражение:

$x^2 + x + 1 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.

Так как $(x + \frac{1}{2})^2 \ge 0$ для всех значений $x$, то $(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \ge 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.

Поскольку выражение всегда больше или равно $\frac{3}{4}$, оно всегда принимает положительные значения.

Наименьшее значение достигается, когда $(x + \frac{1}{2})^2 = 0$. Это происходит при $x + \frac{1}{2} = 0$, то есть при $x = -\frac{1}{2}$.

При $x = -\frac{1}{2}$ значение выражения равно $(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = 0^2 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: наименьшее значение равно $\frac{3}{4}$ при $x = -\frac{1}{2}$.