Номер 779, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 779, страница 132.

Условие.

779. Представьте многочлен $\frac{81}{16} x^4 + y^8 - \frac{9}{2} x^2 y^4$ в виде произведения квадратов двух двучленов.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы представить многочлен в виде произведения квадратов двух двучленов, мы сначала преобразуем данное выражение, используя формулы сокращенного умножения.

Исходный многочлен: $ \frac{81}{16}x^4 + y^8 - \frac{9}{2}x^2y^4 $.

Переставим слагаемые для удобства, чтобы выражение напоминало формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$ \displaystyle \frac{81}{16}x^4 - \frac{9}{2}x^2y^4 + y^8 $

Определим, что в нашем случае может быть $a$ и $b$. Первый член $ \frac{81}{16}x^4 $ можно представить как квадрат выражения $ \frac{9}{4}x^2 $, так как $ (\frac{9}{4}x^2)^2 = \frac{81}{16}x^4 $. Третий член $ y^8 $ можно представить как квадрат выражения $ y^4 $, так как $ (y^4)^2 = y^8 $.

Теперь проверим, соответствует ли средний член $ -\frac{9}{2}x^2y^4 $ удвоенному произведению $ -2ab $:

$ \displaystyle -2 \cdot \left(\frac{9}{4}x^2\right) \cdot (y^4) = -\frac{18}{4}x^2y^4 = -\frac{9}{2}x^2y^4 $

Средний член совпадает. Следовательно, наш многочлен является полным квадратом разности. Таким образом, мы можем свернуть выражение по формуле квадрата разности:

$ \displaystyle \frac{81}{16}x^4 - \frac{9}{2}x^2y^4 + y^8 = \left(\frac{9}{4}x^2 - y^4\right)^2 $

Теперь нам нужно представить полученное выражение в виде произведения квадратов двух двучленов. Для этого заметим, что выражение в скобках $ \frac{9}{4}x^2 - y^4 $ само является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $c^2 - d^2 = (c-d)(c+d)$.

В нашем случае $ c^2 = \frac{9}{4}x^2 $, значит $ c = \frac{3}{2}x $. А $ d^2 = y^4 $, значит $ d = y^2 $. Тогда:

$ \displaystyle \frac{9}{4}x^2 - y^4 = \left(\frac{3}{2}x - y^2\right)\left(\frac{3}{2}x + y^2\right) $

Подставим это разложение обратно в наше выражение в квадрате:

$ \displaystyle \left(\frac{9}{4}x^2 - y^4\right)^2 = \left( \left(\frac{3}{2}x - y^2\right)\left(\frac{3}{2}x + y^2\right) \right)^2 $

Используя свойство степени $ (xy)^n = x^n y^n $, мы можем раскрыть скобки и получить произведение квадратов двух двучленов:

$ \displaystyle \left(\frac{3}{2}x - y^2\right)^2 \left(\frac{3}{2}x + y^2\right)^2 $

Таким образом, мы представили исходный многочлен в требуемом виде.

Ответ: $ \left(\frac{3}{2}x - y^2\right)^2 \left(\frac{3}{2}x + y^2\right)^2 $