Номер 780, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 780, страница 132.

Условие.

780. Представьте в виде суммы квадратов двух выражений многочлен:

1) $2a^2 - 2a + 1;$

2) $a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2;$

3) $x^2 + 6x + y^2 - 2y + 10;$

4) $10x^2 - 6xy + y^2;$

5) $x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4;$

6) $2a^2 + 2b^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того чтобы представить многочлен $2a^2 - 2a + 1$ в виде суммы квадратов, представим $2a^2$ как $a^2 + a^2$:
$2a^2 - 2a + 1 = a^2 + a^2 - 2a + 1$
Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a^2 + (a^2 - 2a + 1) = a^2 + (a-1)^2$
Таким образом, мы представили многочлен в виде суммы квадратов двух выражений.
Ответ: $a^2 + (a-1)^2$

2) Рассмотрим многочлен $a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $a$ и $b$, и представим константу $2$ как $1+1$:
$a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2 = (a^2 + 2a) + (b^2 + 2b) + 1 + 1$
Перераспределим единицы для выделения полных квадратов для каждой переменной:
$(a^2 + 2a + 1) + (b^2 + 2b + 1)$
Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(a+1)^2 + (b+1)^2$
Ответ: $(a+1)^2 + (b+1)^2$

3) Рассмотрим многочлен $x^2 + 6x + y^2 - 2y + 10$. Сгруппируем слагаемые по переменным $x$ и $y$ и представим константу $10$ как $9+1$:
$x^2 + 6x + y^2 - 2y + 10 = (x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) + 9 + 1$
Перераспределим константы для выделения полных квадратов:
$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1)$
Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) = (x+3)^2 + (y-1)^2$
Ответ: $(x+3)^2 + (y-1)^2$

4) Рассмотрим многочлен $10x^2 - 6xy + y^2$. Чтобы выделить полный квадрат, заметим, что $-6xy$ может быть удвоенным произведением, например, $-2 \cdot (3x) \cdot y$.
Для квадрата разности $(3x-y)^2$ нам нужны слагаемые $(3x)^2 = 9x^2$ и $y^2$.
Представим $10x^2$ как $9x^2 + x^2$:
$10x^2 - 6xy + y^2 = (9x^2 - 6xy + y^2) + x^2$
Сгруппировав первые три слагаемых, получаем полный квадрат:
$(9x^2 - 6xy + y^2) + x^2 = (3x-y)^2 + x^2$
Ответ: $(3x-y)^2 + x^2$

5) Рассмотрим многочлен $x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4$. Слагаемое $4xy$ подсказывает, что нужно выделить квадрат, содержащий $x$ и $y$.
Попробуем выделить квадрат суммы $(x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$.
Для этого представим $5y^2$ как $4y^2 + y^2$:
$x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4 = (x^2 + 4xy + 4y^2) + y^2 - 4y + 4$
Первая группа слагаемых является полным квадратом $(x+2y)^2$. Оставшиеся слагаемые, $y^2 - 4y + 4$, также являются полным квадратом $(y-2)^2$.
$(x^2 + 4xy + 4y^2) + (y^2 - 4y + 4) = (x+2y)^2 + (y-2)^2$
Ответ: $(x+2y)^2 + (y-2)^2$

6) Рассмотрим многочлен $2a^2 + 2b^2$. Для его представления в виде суммы квадратов воспользуемся тождеством $(x+y)^2 + (x-y)^2 = 2x^2 + 2y^2$.
Подставив $a$ вместо $x$ и $b$ вместо $y$, получим:
$2a^2 + 2b^2 = (a+b)^2 + (a-b)^2$
Можно прийти к этому и по-другому, прибавив и вычтя $2ab$:
$2a^2 + 2b^2 = a^2 + a^2 + b^2 + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2$
Ответ: $(a+b)^2 + (a-b)^2$