Номер 785, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 785, страница 133.

Условие.

785. Существуют ли такие значения x и y, при которых равно нулю значение многочлена:

1) $x^2 + 4y^2 + 2x - 4y + 2$;

2) $9x^2 + y^2 - 12x + 8y + 21?$;

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы найти, существуют ли такие значения x и y, при которых значение многочлена равно нулю, необходимо приравнять многочлен к нулю и решить полученное уравнение:

$x^2 + 4y^2 + 2x - 4y + 2 = 0$

Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые с переменными x и y и выделим полные квадраты, используя формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Сгруппируем члены: $(x^2 + 2x) + (4y^2 - 4y) + 2 = 0$.

Выделим полный квадрат для выражения с x:

$x^2 + 2x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (x+1)^2 - 1$

Выделим полный квадрат для выражения с y:

$4y^2 - 4y = (2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (2y-1)^2 - 1$

Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$((x+1)^2 - 1) + ((2y-1)^2 - 1) + 2 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x+1)^2 + (2y-1)^2 - 1 - 1 + 2 = 0$

$(x+1)^2 + (2y-1)^2 = 0$

Выражения $(x+1)^2$ и $(2y-1)^2$ являются квадратами, поэтому их значения не могут быть отрицательными для любых действительных x и y. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю.

Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (x+1)^2 = 0 \\ (2y-1)^2 = 0 \end{cases}$

Решаем эту систему:

$x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$

$2y-1 = 0 \Rightarrow 2y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$

Мы нашли конкретные значения x и y, при которых многочлен обращается в ноль.

Ответ: да, существуют. Например, при $x = -1$ и $y = \frac{1}{2}$.

2) Аналогично первому пункту, приравняем второй многочлен к нулю:

$9x^2 + y^2 - 12x + 8y + 21 = 0$

Сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты:

$(9x^2 - 12x) + (y^2 + 8y) + 21 = 0$

Выделим полный квадрат для выражения с x:

$9x^2 - 12x = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 - 2^2 = (3x-2)^2 - 4$

Выделим полный квадрат для выражения с y:

$y^2 + 8y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 - 4^2 = (y+4)^2 - 16$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$((3x-2)^2 - 4) + ((y+4)^2 - 16) + 21 = 0$

Упростим выражение:

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 - 4 - 16 + 21 = 0$

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 - 20 + 21 = 0$

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 + 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 = -1$

Выражения $(3x-2)^2$ и $(y+4)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны, то есть $(3x-2)^2 \geq 0$ и $(y+4)^2 \geq 0$.

Следовательно, их сумма также должна быть неотрицательной:

$(3x-2)^2 + (y+4)^2 \geq 0$

Полученное уравнение $(3x-2)^2 + (y+4)^2 = -1$ не имеет решений в действительных числах, так как сумма двух неотрицательных чисел не может быть равна отрицательному числу -1.

Ответ: нет, не существуют.