Номер 790, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 790, страница 133.

Условие.

790. Найдите стороны прямоугольника, имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников, периметр каждого из которых равен 20 см.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Это задача на нахождение экстремума. Нам нужно найти прямоугольник с максимальной площадью при заданном периметре.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию задачи, периметр равен 20 см.

$2(a + b) = 20$

Разделив обе части уравнения на 2, получим сумму смежных сторон:

$a + b = 10$

Из этого соотношения мы можем выразить одну сторону через другую, например, $b$ через $a$:

$b = 10 - a$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Подставим в эту формулу выражение для $b$, чтобы получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $a$:

$S(a) = a \cdot (10 - a) = 10a - a^2$

Мы получили функцию площади $S(a)$. Нам нужно найти, при каком значении $a$ (в пределах от 0 до 10) эта функция принимает наибольшее значение.

Функция $S(a) = -a^2 + 10a$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицательный (равен -1). Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $y = kx^2 + mx + c$, можно найти по формуле $x_0 = -\frac{m}{2k}$.

В нашем случае $k = -1$ и $m = 10$. Найдем значение $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = -\frac{10}{-2} = 5$

Итак, одна из сторон прямоугольника, при которой площадь максимальна, равна 5 см. Теперь найдем вторую сторону:

$b = 10 - a = 10 - 5 = 5$

Таким образом, прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре является квадратом.

Ответ: стороны прямоугольника равны 5 см и 5 см.