Номер 792, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 792, страница 133.

Условие.

792. Числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0$. Чему равно значение выражения $a + b - 2c$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Нам дано уравнение, связывающее числа $a$, $b$ и $c$:

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0$

Для того чтобы проанализировать это уравнение, умножим обе его части на 2:

$2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) = 2 \cdot 0$

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0$

Теперь представим $2a^2$ как $a^2 + a^2$, $2b^2$ как $b^2 + b^2$ и $2c^2$ как $c^2 + c^2$. Перегруппируем слагаемые в левой части уравнения, чтобы выделить полные квадраты разностей:

$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) = 0$

Каждое выражение в скобках является формулой квадрата разности:

$(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 = 0$

Сумма квадратов трех действительных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Это происходит потому, что квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$).

Следовательно, должны выполняться следующие условия:

$a - b = 0 \implies a = b$

$a - c = 0 \implies a = c$

$b - c = 0 \implies b = c$

Из этих равенств следует, что все три числа равны между собой: $a = b = c$.

Теперь найдем значение выражения $a + b - 2c$.

Поскольку $a = c$ и $b = c$, мы можем подставить эти значения в искомое выражение:

$a + b - 2c = c + c - 2c = 2c - 2c = 0$

Ответ: 0