Номер 791, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 791, страница 133.

Условие.

791. Числа $a$ и $b$ таковы, что $b^2 + \frac{a^2}{4} = 1$, $ab=3$, $a > 0$, $b > 0$. Найдите значение выражения $a+2b$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Нам даны два уравнения и условия на знаки чисел $a$ и $b$:

1) $b^2 + \frac{a^2}{4} = 1$

2) $ab = 3$

3) $a > 0, b > 0$

Требуется найти значение выражения $a + 2b$.

Рассмотрим квадрат искомого выражения. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$

Сгруппируем слагаемые в полученном выражении, чтобы использовать данные из условия:

$(a + 2b)^2 = (a^2 + 4b^2) + 4ab$

Теперь найдем значение каждой из частей этого выражения.

Из второго условия нам известно, что $ab = 3$. Следовательно, $4ab = 4 \cdot 3 = 12$.

Возьмем первое уравнение $b^2 + \frac{a^2}{4} = 1$ и умножим обе его части на 4, чтобы получить выражение $a^2 + 4b^2$:

$4 \cdot \left(b^2 + \frac{a^2}{4}\right) = 4 \cdot 1$

$4b^2 + 4\frac{a^2}{4} = 4$

$4b^2 + a^2 = 4$

Теперь подставим найденные значения в разложение квадрата суммы:

$(a + 2b)^2 = (a^2 + 4b^2) + 4ab = 4 + 12 = 16$

Из этого следует, что $a + 2b$ может быть равно $\sqrt{16}$ или $-\sqrt{16}$.

$a + 2b = 4$ или $a + 2b = -4$.

По условию задачи, $a > 0$ и $b > 0$. Это означает, что оба числа положительные. Сумма положительного числа $a$ и положительного числа $2b$ также должна быть положительной, то есть $a + 2b > 0$.

Исходя из этого, мы выбираем положительный корень.

$a + 2b = 4$.

Ответ: 4