Номер 784, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 784, страница 133.

Условие.

784. При каких значениях x и y равно нулю значение многочлена:

1) $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 41;$

2) $x^2 + 37y^2 + 12xy - 2y + 1?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы найти значения $x$ и $y$, при которых значение многочлена равно нулю, необходимо решить уравнение:
$x^2 + y^2 + 8x - 10y + 41 = 0$
Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и выделим полные квадраты.
$(x^2 + 8x) + (y^2 - 10y) + 41 = 0$
Чтобы получить полный квадрат для $x$, нам нужно выражение вида $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$. У нас есть $x^2 + 8x$, значит $2a=8$, $a=4$, и $a^2=16$.
Чтобы получить полный квадрат для $y$, нам нужно выражение вида $(y-b)^2 = y^2 - 2by + b^2$. У нас есть $y^2 - 10y$, значит $2b=10$, $b=5$, и $b^2=25$.
Заметим, что свободный член $41$ можно представить как сумму $16 + 25$.
Перепишем уравнение, подставляя $41 = 16 + 25$:
$(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 10y + 25) = 0$
Теперь свернем выражения в скобках в полные квадраты:
$(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 0$
Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x + 4 = 0 \\ y - 5 = 0 \end{cases} $
Из этой системы находим значения $x$ и $y$:
$x = -4$
$y = 5$
Ответ: $x = -4, y = 5$.

2) Приравняем значение многочлена к нулю:
$x^2 + 37y^2 + 12xy - 2y + 1 = 0$
Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Наличие слагаемого $12xy$ указывает на то, что нужно выделить полный квадрат, содержащий и $x$, и $y$. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Выражение $x^2 + 12xy$ является частью полного квадрата $(x+6y)^2 = x^2 + 12xy + 36y^2$.
Представим слагаемое $37y^2$ в виде суммы $36y^2 + y^2$. Тогда уравнение примет вид:
$(x^2 + 12xy + 36y^2) + y^2 - 2y + 1 = 0$
Первая группа слагаемых является полным квадратом $(x+6y)^2$. Вторая группа слагаемых, $y^2 - 2y + 1$, также является полным квадратом $(y-1)^2$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$(x + 6y)^2 + (y - 1)^2 = 0$
Сумма квадратов равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю. Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} y - 1 = 0 \\ x + 6y = 0 \end{cases} $
Из первого уравнения находим $y$:
$y = 1$
Подставляем найденное значение $y$ во второе уравнение:
$x + 6(1) = 0$
$x + 6 = 0$
$x = -6$
Ответ: $x = -6, y = 1$.