Номер 783, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 783, страница 133.

Условие.

783. Представьте многочлен в виде суммы или разности квадратов двух выражений:

1) $a^4 + 17a^2 + 16;$

2) $x^2 + y^2 - 10x + 14y + 74;$

3) $2x^2 - 6xy + 9y^2 - 6x + 9;$

4) $x^2 - y^2 - 4x - 2y + 3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того чтобы представить многочлен $a^4 + 17a^2 + 16$ в виде суммы или разности квадратов, применим метод выделения полного квадрата. Заметим, что $a^4 = (a^2)^2$ и $16 = 4^2$. Это наводит на мысль об использовании формулы квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

Попробуем сформировать квадрат выражения $(a^2+4)$: $(a^2+4)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2 = a^4 + 8a^2 + 16$.

В исходном многочлене у нас член $17a^2$. Мы можем представить его в виде суммы $17a^2 = 8a^2 + 9a^2$. Подставим это в исходное выражение:

$a^4 + 17a^2 + 16 = a^4 + (8a^2 + 9a^2) + 16$

Перегруппируем слагаемые:

$(a^4 + 8a^2 + 16) + 9a^2$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(a^2+4)^2$. Оставшееся слагаемое $9a^2$ также является полным квадратом: $9a^2 = (3a)^2$.Таким образом, мы получаем сумму двух квадратов:

$(a^2+4)^2 + (3a)^2$

Ответ: $(a^2+4)^2 + (3a)^2$.

2) Рассмотрим многочлен $x^2 + y^2 - 10x + 14y + 74$. Для его преобразования сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$, после чего выделим полный квадрат для каждой переменной.

$(x^2 - 10x) + (y^2 + 14y) + 74$

Выделим полный квадрат для выражения с $x$. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.$x^2 - 10x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить $5^2 = 25$.$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.

Выделим полный квадрат для выражения с $y$. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.$y^2 + 14y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 7$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить $7^2 = 49$.$y^2 + 14y + 49 = (y+7)^2$.

Теперь преобразуем исходный многочлен, прибавляя и вычитая 25 и 49, чтобы не изменить его значение:

$x^2 - 10x + 14y + y^2 + 74 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + (y^2 + 14y + 49) - 49 + 74$

Заменим выражения в скобках на квадраты и вычислим сумму оставшихся чисел:

$(x-5)^2 + (y+7)^2 - 25 - 49 + 74 = (x-5)^2 + (y+7)^2 - 74 + 74 = (x-5)^2 + (y+7)^2$

Ответ: $(x-5)^2 + (y+7)^2$.

3) Для многочлена $2x^2 - 6xy + 9y^2 - 6x + 9$ попробуем найти комбинацию полных квадратов. Заметим, что коэффициент при $x^2$ не является полным квадратом, что подсказывает разбить этот член на два слагаемых: $2x^2 = x^2 + x^2$.

Перепишем и перегруппируем выражение:

$x^2 + x^2 - 6xy + 9y^2 - 6x + 9 = (x^2 - 6xy + 9y^2) + (x^2 - 6x + 9)$

Теперь рассмотрим каждую из групп в скобках:

Первая группа $x^2 - 6xy + 9y^2$ является полным квадратом разности, так как $x^2 - 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x-3y)^2$.

Вторая группа $x^2 - 6x + 9$ также является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

Таким образом, исходный многочлен равен сумме двух квадратов:

$(x-3y)^2 + (x-3)^2$

Ответ: $(x-3y)^2 + (x-3)^2$.

4) Рассмотрим многочлен $x^2 - y^2 - 4x - 2y + 3$. Сгруппируем слагаемые по переменным, чтобы выделить полные квадраты.

$(x^2 - 4x) - (y^2 + 2y) + 3$

Обратите внимание, что мы вынесли знак минус перед второй скобкой, поэтому знак у $2y$ изменился на плюс.

Выделим полный квадрат для группы с $x$:$x^2 - 4x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2$. Нужно добавить $2^2=4$.$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Выделим полный квадрат для группы с $y$:$y^2 + 2y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1$. Нужно добавить $1^2=1$.$y^2 + 2y + 1 = (y+1)^2$.

Преобразуем исходное выражение. Для этого добавим и вычтем 4 для группы с $x$, а также добавим и вычтем 1 внутри скобок для группы с $y$:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 - (y^2 + 2y + 1) + 1 + 3$

Здесь важно правильно учесть вычитание. Более точная запись:

$((x^2 - 4x + 4) - 4) - ((y^2 + 2y + 1) - 1) + 3$

Раскроем внутренние скобки:

$(x-2)^2 - 4 - (y+1)^2 + 1 + 3$

Теперь сгруппируем числовые слагаемые:

$(x-2)^2 - (y+1)^2 + (-4 + 1 + 3) = (x-2)^2 - (y+1)^2 + 0$

В результате получаем разность двух квадратов.

Ответ: $(x-2)^2 - (y+1)^2$.