Номер 782, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 782, страница 133.

Условие.

782. Разложите на множители многочлен, предварительно представив его в виде разности квадратов двух выражений:

1) $a^4 + a^2 + 1;$

2) $x^2 - y^2 + 4x - 4y;$

3) $a^2b^2 + 2ab - c^2 - 8c - 15;$

4) $8a^2 - 12a + 2ab - b^2 + 4.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $a^4 + a^2 + 1$
Чтобы представить данный многочлен в виде разности квадратов, дополним его до полного квадрата суммы. Формула полного квадрата: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
В нашем выражении $a^4 = (a^2)^2$ и $1 = 1^2$. Для полного квадрата $(a^2+1)^2$ нам нужен член $2 \cdot a^2 \cdot 1 = 2a^2$. У нас есть только $a^2$.
Добавим и вычтем $a^2$, чтобы выделить полный квадрат:
$a^4 + a^2 + 1 = a^4 + 2a^2 + 1 - a^2$
Теперь сгруппируем первые три слагаемых:
$(a^4 + 2a^2 + 1) - a^2 = (a^2+1)^2 - a^2$
Мы получили разность квадратов двух выражений: $(a^2+1)$ и $a$. Применим формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$:
$(a^2+1)^2 - a^2 = ((a^2+1) - a)((a^2+1) + a)$
Запишем многочлены в стандартном виде:
$(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)$
Ответ: $(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)$.

2) $x^2 - y^2 + 4x - 4y$
Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и попробуем выделить полные квадраты.
$x^2 - y^2 + 4x - 4y = (x^2 + 4x) - (y^2 + 4y)$
Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого добавим и вычтем 4 в каждой группе (поскольку $(x+2)^2=x^2+4x+4$ и $(y+2)^2=y^2+4y+4$):
$(x^2 + 4x + 4 - 4) - (y^2 + 4y + 4 - 4)$
Сгруппируем полные квадраты:
$((x^2 + 4x + 4) - 4) - ((y^2 + 4y + 4) - 4) = ((x+2)^2 - 4) - ((y+2)^2 - 4)$
Раскроем скобки:
$(x+2)^2 - 4 - (y+2)^2 + 4 = (x+2)^2 - (y+2)^2$
Мы получили разность квадратов двух выражений: $(x+2)$ и $(y+2)$. Применим формулу $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$:
$((x+2) - (y+2))((x+2) + (y+2))$
Упростим выражения в скобках:
$(x+2-y-2)(x+2+y+2) = (x-y)(x+y+4)$
Ответ: $(x-y)(x+y+4)$.

3) $a^2b^2 + 2ab - c^2 - 8c - 15$
Сгруппируем слагаемые, содержащие $ab$, и слагаемые, содержащие $c$:
$(a^2b^2 + 2ab) - (c^2 + 8c + 15)$
Дополним каждую группу до полного квадрата. Для первой группы $(ab+1)^2 = a^2b^2 + 2ab + 1$. Для второй группы $(c+4)^2 = c^2 + 8c + 16$.
Представим исходный многочлен так, чтобы можно было выделить эти квадраты. Для этого представим $-15$ как $1-16$:
$a^2b^2 + 2ab - c^2 - 8c + 1 - 16$
Перегруппируем слагаемые:
$(a^2b^2 + 2ab + 1) - (c^2 + 8c + 16)$
Теперь мы можем записать это как разность квадратов:
$(ab+1)^2 - (c+4)^2$
Применим формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$, где $X=ab+1$ и $Y=c+4$:
$((ab+1) - (c+4))((ab+1) + (c+4))$
Упростим выражения в скобках:
$(ab+1-c-4)(ab+1+c+4) = (ab-c-3)(ab+c+5)$
Ответ: $(ab-c-3)(ab+c+5)$.

4) $8a^2 - 12a + 2ab - b^2 + 4$
Этот многочлен сложнее, и для выделения разности квадратов нужно применить нестандартный подход. Представим член $8a^2$ в виде разности $9a^2 - a^2$.
$9a^2 - a^2 - 12a + 2ab - b^2 + 4$
Теперь сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы получить два полных квадрата:
$(9a^2 - 12a + 4) + (-a^2 + 2ab - b^2)$
Вынесем минус из второй скобки:
$(9a^2 - 12a + 4) - (a^2 - 2ab + b^2)$
Оба выражения в скобках являются полными квадратами:
$9a^2 - 12a + 4 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 2 + 2^2 = (3a-2)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
Таким образом, исходное выражение равно:
$(3a-2)^2 - (a-b)^2$
Мы получили разность квадратов. Применим формулу $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$, где $X=3a-2$ и $Y=a-b$:
$((3a-2) - (a-b))((3a-2) + (a-b))$
Упростим выражения в скобках:
$(3a-2-a+b)(3a-2+a-b) = (2a+b-2)(4a-b-2)$
Ответ: $(2a+b-2)(4a-b-2)$.